2021届浙江省高考数学一轮学案：第六章第2节平面向量基本定理与坐标表示


第2节　平面向量基本定理与坐标表示
考试要求　1.理解平面向量基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

知 识 梳 理
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
[常用结论与易错提醒]
1.若a与b不共线，且λa＋μb＝0, 则λ＝μ＝0.
2.已知＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
3.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.
4.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(　　)
(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.(　　)
(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　)
(5)在△ABC中，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.(　　)
解析　(1)共线向量不可以作为基底.
(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.
(4)若b＝(0，0)，则＝无意义.
(5)向量a与b的夹角为∠ABC的补角.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
2.(2019·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，则|a－b|＝(　　)
A. B.2
C.5 D.50
解析　∵a－b＝(2，3)－(3，2)＝(－1，1)，
∴|a－b|＝＝.故选A.
答案　A
3.(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
解析　2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝.
答案　
4.(必修4P101A3改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________.
解析　设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得
答案　(1，5)
5.已知向量a＝(－2，x)，b ＝(y，3)，若a∥b且a·b＝12，则x＝__________，y＝__________.
解析　由已知条件得解得
答案　2　－3
6.已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0.
(1)用，表示为________；
(2)若点D是OB的中点，则四边形OCAD的形状是________.
解析　(1)因为2＋＝0，所以2(－)＋(－)＝0，
所以＝2－.
(2)如图，D为OB的中点，则＝＋＝－＋＝(2－).故＝，
即DA∥OC，且DA≠OC，故四边形OCAD为梯形.

答案　(1)2－　(2)梯形

考点一　平面向量基本定理及其应用
【例1】 (1)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(一题多解)(2017·江苏卷)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________.

解析　(1)如图所示，＋＝(－)＋(＋)
＝＋＝＋＝(＋)＝.

(2)法一　如图，过点C作CD∥OB交OA的延长线于点D，设＝m，＝n，则在△ODC中有OD＝m，DC＝n，OC＝，∠OCD＝45°，

由tan α＝7，得cos α＝，
又由余弦定理知

即
①＋②得4－2n－m＝0，即m＝10－5n，代入①得12n2－49n＋49＝0，解得n＝或n＝，当n＝时，m＝10－5×＝－