2021届浙江省高考数学一轮学案：第六章第3节　平面向量的数量积及其应用


第3节　平面向量的数量积及其应用
考试要求　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

知 识 梳 理
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
[常用结论与易错提醒]
1.设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a＝a·e＝|a|cos θ.
2.当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝.
3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.
4.两个向量的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b＜0，反之也不成立.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.(　　)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　)
(4)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角.(　　)
(5)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　)
解析　(1)两个向量夹角的范围是[0，π].
(4)若a·b>0，a和b的夹角可能为0；若a·b2或t0，
故不等式t2－t