2021届浙江省高考数学一轮学案：第七章第5节　数学归纳法（选用）


第5节　数学归纳法(选用)
考试要求　1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

知 识 梳 理
1.数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
2.数学归纳法的框图表示

[常用结论与易错提醒]
1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.
2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　　)
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(　　)
(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.(　　)
(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.(　　)
解析　对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项.
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.(选修2－2P99B1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析　三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.
答案　C
3.已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)
A.f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B.f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C.f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D.f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
解析　f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，＝，＝，故f(2)＝＋＋.
答案　D
4.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)，第一步要证的不等式是________.
解析　当n＝2时，式子为1＋＋