2021届浙江省高考数学一轮学案：第八章第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系


第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系
考试要求　1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

知 识 梳 理
1.平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系

直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形语言



符号语言
a∥b
a∥α
α∥β
相交关系
图形语言



符号语言
a∩b＝A
a∩α＝A
α∩β＝l
独有关系
图形语言



符号语言
a，b是异面直线
a⊂α

3.平行公理(公理4)和等角定理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
4.异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：.
[常用结论与易错提醒]
1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交.
2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.
3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(　　)
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(　　)
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(　　)
(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.(　　)
解析　(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.
(4)由于a不平行于平面α，且a⊄α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误.
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析　连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.
答案　C
3.在下列命题中，不是公理的是(　　)
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
解析　选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的.
答案　A
4.已知直线a，b分别在两个不同的平面α ，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.
答案　A
5.若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________.
答案　b与α相交或b∥α或b⊂α
6.如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与c的位置关系是________；b与c的位置关系是________.

答案　a∥c　b∥c

考点一　平面的基本性质及应用
【例1】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点.求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点.
证明　(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.
又A1B∥CD1，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面.
(2)∵EF∥CD1，EF