2021届浙江省高考数学一轮学案：第八章第4节　直线、平面平行的判定及其性质


第4节　直线、平面平行的判定及其性质
考试要求　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.

知 识 梳 理
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理

文字语言
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判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面

a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理







文字语言
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判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β
性质定理
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面

α∥β，a⊂α⇒a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
3.与垂直相关的平行的判定
(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.
[常用结论与易错提醒]
1.平行关系的转化

2.平面与平面平行的六个性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行.
(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(　　)
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(　　)
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(　　)
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(　　)
解析　(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.
(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.故选A.
答案　A
3.下列命题中正确的是(　　)
A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C.若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b
D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
解析　根据线面平行的判定与性质定理知，选D.
答案　D
4.(必修2P56练习2改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________.

解析　连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，E为DD1的中点，
所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
答案　平行
5.用一个截面去截正三棱柱ABC－A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于E，F，G，H四点，已知A1A>A1C1，则截面的形状可以是________(把你认为可能的结果都填上).
解析　由题意知，当截面平行于侧棱时所得截面为矩形，当截面与侧棱不平行时，所得的截面是梯形.
答案　矩形或梯形
6.设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线.
(1)若α∥γ，β∥γ，则α与β的关系是________；
(2)若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α与β的关系是________.
解析　(1)由α∥γ，β∥γ⇒α∥β.
(2)a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β.
答案　(1)平行　(2)平行

考点一　线面、面面平行的相关命题的真假判断
【例1】 (1)(2019·全国Ⅱ卷)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α，β平行于同一条直线
D.α，β垂直于同一平面
(2)(一题多解)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)

解析　(1)若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，当无数条直线互相平行时，α与β可能相交；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件.根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此B中条件是α∥β的充要条件.
(2)法一　对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A项不正确.
　　
　　　　 图(1)　　　　　　　图(2)
法二　对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.A项不正确.
答案　(1)B　(2)A
规律方法　(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.
(2)①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.
②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
【训练1】 (1)(2020·杭州质检)已知三个不同的平面α，β，γ和直线m，n，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，则“α∥β”是“m∥n”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；
④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中是真命题的是________(填上正确命题的序号).
解析　(1)可知当“α∥β”时有“m∥n”，反之，不一定成立，则“α∥β”是“m∥n”的充分不必要条件，故选A.
(2)①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误.
答案　(1)A　(2)②
考点二　直线与平面平行的判定与性质 多维探究
角度1　直线与平面平行的判定
【例2－1】 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.

(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求四面体N－BCM的体积.
(1)证明　由已知得AM＝AD＝2.
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綉AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)解　因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，
所以N到平面ABCD的距离为PA.
如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.
由AM∥BC得M到BC的距离为，故S△BCM＝×4×＝2.所以四面体N－BCM的体积VN－BCM＝×S△BCM×＝.
角度2　直线与平面平行性质定理的应用
【例2－2】 如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

(1)证明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积.
(1)证明　因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，
所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
(2)解　如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，
且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，PO⊂平面PBD.
所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，
又EF⊂平面ABCD，从而GK⊥EF.
所以GK是梯形GEFH的高.
由AB＝8，EB＝2及EK∥AD，
得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
从而KB＝DB＝OB，即K为OB的中点.
再由PO∥GK得GK＝PO，即G是PB的中点，且GH＝BC＝4.由已知可得OB＝4，PO＝＝＝6，所以GK＝3.
故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.
规律方法　(1)判断或证明线面平行的常用方法有：
①利用反证法(线面平行的定义)；
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；
③利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).
(2)利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
【训练2】 在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.

(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
证明　(1)连接EC，∵AD∥BC，BC＝AD，
E为AD的中点，∴BC綉AE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴O为AC的中点，
又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，
又FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，
∴FH∥PD，又PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，
∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点，H是CD的中点，
∴OH∥AD，又∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，
∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
考点三　面面平行的判定与性质 变式迁移
【例3】 (经典母题)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，
∴A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
【变式迁移1】 如图，在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.

证明　如图所示，连接A1B.
∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B，
又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，
∴HD∥平面A1B1BA.
【变式迁移2】 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值.
解　连接A1B交AB1于O，连接OD1.
由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，则＝＝1.
又由题设＝，∴＝1，即＝1.
规律方法　(1)判定面面平行的主要方法
①利用面面平行的判定定理.
②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
(2)面面平行的性质定理
①两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面.
②若一平面与两平行平面相交，则交线平行.
提醒　利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行.
【训练3】 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；
(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.
证明　(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，
如图①，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，

图①
所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.
又BD∩DE＝D，
所以AC⊥平面BDEF.
因为FB⊂平面BDEF，
所以AC⊥FB.
(2)如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI.

图②
在△CEF中，因为G是CE的中点，
所以GI∥EF.又EF∥DB，
所以GI∥DB.
在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，
所以平面GHI∥平面ABC，
因为GH⊂平面GHI，
所以GH∥平面ABC.

基础巩固题组
一、选择题
1.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件.
答案　A
2.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　)

A.异面　　　　　 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
解析　在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.
答案　B
3.有下列命题：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；
④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线.
其中真命题的个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析　命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③a可以在平面α内，不正确；命题④正确.
答案　A
4.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)

A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
解析　①中，易知NP∥AA′，
MN∥A′B，又MN∩NP＝N.
∴平面MNP∥平面AA′B，
可得出AB∥平面MNP(如图).
④中，NP∥AB，NP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.
答案　B
5.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是(　　)
A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C.若m⊥α，m⊥n，则n∥α D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α
解析　若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错.
答案　B
6.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中错误的是(　　)
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC＝BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
解析　因为截面PQMN是正方形，所以MN∥QP，又PQ⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，则MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，又MN⊂平面PQMN，AC⊄平面PQMN，则AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故A，B正确.又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确.
答案　C
二、填空题
7.在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则MN与平面ABD的位置关系是________；与平面ABC的位置关系是________.
解析　如图，取CD的中点E.
连接AE，BE，由于M，N分别是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分别过M，N，则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，
即EM∶MA＝EN∶BN，
所以MN∥AB.因为AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABD，
MN∥平面ABC.
答案　平行　平行
8.如图，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________.
解析　取PD的中点F，连接EF，AF，

在△PCD中，EF綉CD.
又∵AB∥CD且CD＝2AB，
∴EF綉AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴EB∥AF.
又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
答案　平行
9.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，且m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中真命题的个数为__________.
解析　若m⊂α，n∥α，则m，n可能平行或异面，①错误；若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m⊥α，则m⊥γ，②正确；若α∩β＝n，m∥n，则m∥α或m∥β或m⊂α或m⊂β，③错误；若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能平行或相交，④错误，则真命题个数为1.
答案　1
10.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)

解析　连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，
易知平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
答案　点M在线段FH上(或点M与点H重合)
三、解答题
11.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.
解　(1)点F，G，H的位置如图所示.
(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，
所以BC∥FG，BC＝FG，
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，
所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.
又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.
12.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AD＝2BC，M为边AD的中点，求证：C1M∥平面A1ABB1.

证明　在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
有B1C1∥BC且B1C1＝BC，又M为边AD的中点，
所以BC∥AM，即B1C1∥AM，
又AD＝2BC，所以BC＝AM，
即B1C1＝AM，所以四边形B1C1MA为平行四边形，
则C1M∥B1A，又B1A⊂平面AA1B1B，C1M⊄平面AA1B1B，
所以C1M∥平面AA1B1B.
能力提升题组
13.给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；
②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为(　　)
A.3 B.2
C.1 D.0
解析　①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l，m；②中l与m也可能异面；③中⇒l∥n，同理，l∥m，则m∥n，正确.
答案　C
14.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过EF的平面与棱BB1，DD1分别交于点G，H.设BG＝x，x∈[0，1].
①四边形EGFH一定是菱形；②AC∥平面EGFH；③四边形EGFH的面积S＝f(x)在区间[0，1]上具有单调性；④四棱锥A－EGFH的体积为定值.以上结论正确的个数是(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
解析　由正方体的性质易得D1H＝BG＝x，则四边形A1D1HE、四边形ABGE、四边形CBGF、四边形C1D1HF为四个全等的直角梯形，则HE＝EG＝GF＝FH，即四边形EGFH为菱形，①正确；因为AC∥EF，EF⊂平面EGFH，AC⊄平面EGFH，所以AC∥平面EGFH，②正确；在线段DD1上取DM＝x，则易得△HMG为直角三角形，且HM＝1－2x，则GH＝＝，则菱形EGFH的面积S＝f(x)＝EF·GH＝，易得其在上单调递减，在上单调递增，在[0，1]上不具有单调性，③错误；V四棱锥A－EGFH＝V三棱锥A－EFH＋V三棱锥A－EGF＝V三棱锥F－AEH＋V三棱锥F－AEG＝×1××1×＋×1××1×＝，为定值，④正确.综上所述，正确结论的个数是3，故选B.
答案　B
15.如图所示，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________.

解析　设BC1∩B1C＝O，连接OD.
∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，
∴A1B∥OD，
∵四边形BCC1B1是菱形，
∴O为BC1的中点，
∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.
答案　1
16.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面：
①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.
则以上命题错误的是________(填序号).
解析　若m∥α，m∥β，则α，β可能平行或相交，①错误；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，②错误；若m⊥α，n∥α，则m⊥n，③错误； 若m⊥α，n⊥α，则m∥n，④正确.
答案　①②③
17.(2020·无锡调研)如图，ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF.

(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求证：AC∥平面BEF.
证明　(1)因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC.
因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
因为DE∩BD＝D，BD⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，
所以AC⊥平面BDE.
(2)如图，设AC∩BD＝O，取BE中点G，连接FG，OG，
所以，OG∥DE且OG＝DE.
因为AF∥DE，DE＝2AF，所以AF∥OG且AF＝OG，
从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥AO.
因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，
所以AO∥平面BEF，
即AC∥平面BEF.
18.如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.
(1)证明：AA1⊥BD；
(2)证明：CC1∥平面A1BD.
证明　(1)因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以D1D⊥BD.
又AB＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD中，由余弦定理，得BD＝AD，
所以AD2＋BD2＝AB2，即AD⊥BD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.
又AA1⊂平面ADD1A1，所以AA1⊥BD.
(2)如图，连接AC，A1C1.
设AC∩BD＝E，连接EA1.
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以EC＝AC.
由棱台定义及AB＝2AD＝2A1B1知，A1C1∥EC且A1C1＝EC，
所以四边形A1ECC1为平行四边形，
因此CC1∥EA1.
又EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD，
所以CC1∥平面A1BD.