2021届浙江省高考数学一轮学案：第八章第6节　空间向量及其运算


第6节　空间向量及其运算
考试要求　1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，了解空间向量的正交分解及其坐标表示；2.了解空间向量的线性运算及其坐标表示；3.了解空间向量的数量积及其坐标表示；4.掌握空间两点间的距离公式，会求向量的长度、两向量的夹角.

知 识 梳 理
1.空间向量的有关概念
名称
概念
表示
零向量
模为0的向量
0
单位向量
长度(模)为1的向量

相等向量
方向相同且模相等的向量
a＝b
相反向量
方向相反且模相等的向量
a的相反向量为－a
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
a∥b
共面向量
平行于同一个平面的向量

2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
空间两个向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.
推论　如图所示，点P在l上的充要条件是＝＋ta　　　　　　　　　　①

其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝＋t或＝(1－t)＋t.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1.
(3)空间向量基本定理
如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|

夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝
5.空间两点间的距离公式
空间中点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝.
[常用结论与易错提醒]
1.a·b＝0⇔a＝0或b＝0或〈a，b〉＝.
2.a·b<0不等价为〈a，b〉为钝角，因为〈a，b〉可能为180°；a·b>0不等价为〈a，b〉为锐角，因为〈a，b〉可能为0°.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)空间中任意两非零向量a，b共面.(　　)
(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(　　)
(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.(　　)
(4)若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角.(　　)
解析　对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，所以(3)不正确；对于(4)，若〈a，b〉＝π，则a·b<0，故(4)不正确.
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)
A.垂直 B.平行
C.异面 D.相交但不垂直
解析　由题意得＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，∴＝－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点.∴AB∥CD.
答案　B
3.(选修2－1P97A2改编)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若＝a，＝b，1＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)

A.－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.－a－b＋c D.a－b＋c
解析　由题意，根据向量运算的几何运算法则，＝1＋＝1＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
答案　A
4.(2017·上海卷)如图，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4，3，2)，则的坐标为________.

解析　A(4，0，0)，C1(0，3，2)，＝(－4，3，2).
答案　(－4，3，2)
5.已知O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________.
解析　∵P，A，B，C四点共面，∴＋＋t＝1，∴t＝.
答案　
6.已知i，j，k为两两垂直的单位向量，非零向量a＝a1i＋a2j＋a3k(a1，a2，a3∈R)，若向量a与向量i，j，k的夹角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝________.
解析　设i，j，k为长方体的共顶点的三条棱的方向向量，因非零向量a＝a1i＋a2j＋a3k(a1，a2，a3∈R)，故a可为长方体体对角线的方向向量，
则α＝∠xEA，β＝∠yEA，γ＝∠zEA，
所以cos α＝cos∠xEA＝cos∠CAE＝，
cos β＝cos∠yEA＝cos∠DAE＝，
cos γ＝cos∠zEA＝cos∠EAB＝，
cos2α＋cos2β＋cos2γ＝＝＝1.
答案　1

考点一　空间向量的线性运算
【例1】 如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1)；(2)＋.
解　(1)因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)因为M是AA1的中点，所以＝＋
＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.
又＝＋＝＋
＝＋＝c＋a，
所以＋＝＋
＝a＋b＋c.
规律方法　(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.
(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.
提醒　空间向量的线性运算类似于平面向量中的线性运算.
【训练1】 如图，三棱锥O－ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝(　　)

A.(－a＋b＋c) B.(a＋b－c)
C.(a－b＋c) D.(－a－b＋c)
解析　＝＋＝(－)＋
＝－＋(－)＝＋－
＝(a＋b－c).
答案　B
考点二　共线定理、共面定理的应用
【例2】 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋).
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.
解　(1)由题意知＋＋＝3，
所以－＝(－)＋(－)，
即＝＋＝－－，
所以，，共面.
(2)由(1)知，，共面且过同一点M，
所以M，A，B，C四点共面.
从而点M在平面ABC内.
规律方法　(1)证明空间三点P，A，B共线的方法
①＝λ(λ∈R)；
②对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1).
(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法
①＝x＋y；
②对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
③∥(或∥或∥).
(3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.
【训练2】 (1)若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________.
(2)已知空间四点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，D(1，2，t)，若四点共面，则t的值为________.
解析　(1)＝(3，－1，1)，＝(m＋1，n－2，－2).
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴＝＝，
∴m＝－7，n＝4，∴m＋n＝－3.
(2)＝(1，1，0)，＝(－1，0，2)，＝(3，2，t－2)，
∵A，B，C，D四点共面，∴，，共面.
设＝x＋y，
即(3，2，t－2)＝(x－y，x，2y)，
则解得∴t的值为0.
答案　(1)－3　(2)0
考点三　空间向量数量积及其应用
【例3】 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；
(2)求与夹角的余弦值.
解　(1)记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
所以a·b＝b·c＝c·a＝.
||2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×
＝6，
所以||＝，即AC1的长为.
(2)＝b＋c－a，＝a＋b，
所以||＝，||＝，
·＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
所以cos〈，〉＝＝.
即与夹角的余弦值为.
规律方法　利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.可解决有关垂直、夹角、长度问题.
(1)a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；
(2)|a|＝；
(3)cos〈a，b〉＝.
【训练3】 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是其内切球O的一条直径，E是正方体表面上一点，求·的最大值.

解　由极化恒等式的三角形形式得
·＝[(2)2－2].
又因为MN是其内切球O的一条直径，E是正方体表面上的动点，所以||＝2，||≤，所以·＝[(2)2－4]≤2，
所以·的最大值为2.

基础巩固题组
一、选择题
1.已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于(　　)
A. B.－2
C.0 D.或－2
解析　∵a∥b，∴＝＝，解得m＝－2.
答案　B
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　如图，设正方体棱长为2，则易得＝(2，－2，1)，＝(2，2，－1)，∴cos〈，〉
＝＝－，又〈，〉∈[0，π]，
∴sin〈，〉＝＝.
答案　B
3.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A.－1 B.
C. D.
解析　由题意得ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2).所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝.
答案　D
4.已知空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么(　　)
A.·＜·
B.·＝·
C.·＞·
D.·与·的大小不能比较
解析　取BD的中点F，连接EF，则EF綉CD，因为〈，〉＝〈，〉＞90°，因为·＝0，∴·＜0，所以·＞·.
答案　C
5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
解析　如图，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
＝(a＋b)，＝c，
∴·＝(a＋b)·c
＝(a·c＋b·c)
＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.
答案　C
6.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则：

①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
以上说法正确的个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析　＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴∥，所以A1M∥D1P，又D1P⊂平面DCC1D1，D1P⊂平面D1PQB1，A1M⊄平面DCC1D1，A1M⊄平面D1PQB1，由线面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.①③④正确.
答案　C
二、填空题
7.已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则b，c的夹角为________.
解析　由题意得(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.
即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，
∴cos〈b，c〉＝＝＝－，
0°≤〈b，c〉≤180°，
∴〈b，c〉＝120°.
答案　120°
8.已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，a与b夹角的余弦值为________；若a⊥(a－λb)，则λ＝________.
解析　∵a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，∴cos〈a，b〉＝＝＝；由题意a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.
答案　　2
9.已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则x＝________，y＝________，z＝________.
解析　由条件得
解得x＝，y＝－，z＝4.
答案　　－　4
10.设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使＝0成立的点M的个数有________.
解析　设M(a，b，c)，Ak(xk，yk，zk)(k＝1，2，3，4，5).
则＝(xk－a，yk－b，zk－c)，
∴由＝0得
∴∴存在唯一点M.
答案　1
三、解答题
11.如图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′.试用′表示＋′＋′.

解　∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴在▱ABCD中，＝＋，
在▱ABB′A′中，′＝＋′，
在▱ADD′A′中，′＝＋′，
∴＋′＋′＝(＋)＋(＋′)＋(＋′)＝2(＋＋).
又∵在▱ABCD中，＝，
在▱ACC′A′中，′＝′，
∴＋＋′＝＋＋′＝′，
∴＋′＋′＝2′.
12.已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c.
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.
解　(1)∵c∥，＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，
∴c＝m＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)，
∴|c|＝＝3|m|＝3，
∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2).
(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，
∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，
又∵|a|＝＝，
|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.
能力提升题组
13.在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.不确定
解析　如图，令＝a，＝b，＝c，则·＋·＋·
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)
＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.
答案　B
14.若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量p＝xa＋yb＋zc，则(x，y，z)叫向量p在基底{a，b，c}下的坐标.
已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是(　　)
A.(4，0，3) B.(3，1，3)
C.(1，2，3) D.(2，1，3)
解析　设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z).则
p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，①
因为p在{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，
∴p＝4a＋2b＋3c，②
由①②得∴
即p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为(3，1，3).
答案　B
15.已知O点为空间直角坐标系的原点，向量＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是__________.
解析　∵点Q在直线OP上，∴设点Q(λ，λ，2λ)，
则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6－.
即当λ＝时，·取得最小值－.
此时＝.
答案　
16.已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60°.点G为△ABC的重心，若＝x＋y＋z，x，y，z∈R，则x＋y＋z＝________.||＝________.
解析　因为A，B，C，G四点共面，所以x＋y＋z＝1，则z＝1－x－y，＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)]＝＋＋PC＝(＋＋)，∴x＝y＝z＝，||＝
＝×
＝.
答案　1　
17.如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.

(1)写出点E，F的坐标；
(2)求证：⊥；
(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋.
(1)解　E(a，x，0)，F(a－x，a，0).
(2)证明　∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，
∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，
∴·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，
∴⊥.
(3)证明　∵A1，E，F，C1四点共面，
∴，，共面.
选与为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2，
即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a)
＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，
∴
解得λ1＝，λ2＝1.
于是＝＋.
18.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：

(1)·；(2)的长；
(3)与所成角的余弦值.
解　设＝a，＝b，＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)＝＝c－a，＝－a，
·＝·(－a)＝a2－a·c＝，
(2)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b
＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝.
(3)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，
cos〈，〉＝＝－.