2021届高考数学（文）一轮复习学案：第1节坐标系

 第12章 选修4-4第一节　坐标系[最新考纲]　1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；从极点O引一条射线Ox，叫做极轴；选定一个单位长度、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：4．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)半径为r的圆ρ＝2rcos_θ圆心为，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R) 或θ＝α＋π(θ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a过点，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0＜θ＜π) 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．                            (　　)(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.    (　　)(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的． (　　)(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线． (　　)[答案](1)×　(2)√　(3)√　(4)×二、教材改编1．若点P的直角坐标为(－3，)，则点P的极坐标为(　　)A.　　　　　 B.C. D.C　[因为点P(－3，)在第二象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为，所以点P的极坐标为.]2．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)A．ρ＝，0≤θ≤B．ρ＝，0≤θ≤C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤A　[∵y＝1－x(0≤x≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，∴ρ＝.]3．在极坐标系中，A，B两点间的距离为________．6　[法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6.法二：∵A，B的直角坐标系为A(1，－)，B(－2,2)，∴|AB|＝＝6.]4．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为______．x2＋y2－2y＝0　[由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，即x2＋y2＝2y.]⊙考点1　平面直角坐标系下图形的伸缩变换　伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．　1.求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．[解]　由伸缩变换得到代入x2－＝1得－＝1，化简得－＝1.即曲线C′的方程为－＝1，则曲线C′是双曲线，其焦点坐标为(－5,0)和(5,0)．2．若函数y＝f(x)的图像在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin，求函数y＝f(x)的最小正周期．[解]　由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sin得3y＝3sin，整理得y＝sin，故f(x)＝sin.所以函数f(x)的最小正周期为π.3．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式φ：(λ，μ＞0)，求λ，μ的值．[解]　将变换后的椭圆＋＝1改写为＋＝1，把伸缩变换公式φ：(λ，μ＞0)代入上式得：＋＝1，即x2＋y2＝1，与x2＋y2＝1比较系数得所以　应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的点的坐标(x′，y′)．⊙考点2　极坐标与直角坐标的互化 1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．2．极角的确定由tan θ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．(1)当x≠0时，θ角才能由tan θ＝按上述方法确定．(2)当x＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y＞0时，可取θ＝；当x＝0，y＜0时，可取θ＝.　[一题多解](2019·江苏高考)在极坐标系中，已知两点A，B，直线l的方程为ρsin＝3.(1)求A，B两点间的距离；(2)求点B到直线l的距离．[解](1)法一：(使用余弦定理)设极点为O，在△AOB中，A，B，由余弦定理得|AB|＝＝.法二：(化为直角坐标)点A的直角坐标为，点B的直角坐标为(0，)，则|AB|＝＝.(2)由ρsin＝3得ρsin θ＋ρcos θ＝3，所以直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，又点B的直角坐标为(0，)，则点B到直线l的距离d＝＝2.　把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后利用平面解析几何的知识解决问题，这是常用的方法．[教师备选例题]　在极坐标系中，直线l的方程为ρsin＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长．[解]　因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，化成直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为ρsin＝2，化成直角坐标方程为y＝(x－4)，则直线l过A(4,0)，倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB＝，如图，连接OB，因为OA为直径，从而∠OBA＝，所以AB＝4cos＝2.所以直线l被曲线C截得的弦长为2.　1.在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝(ρ≥0,0≤θ＜2π)．(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．[解](1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.(2)将两直角坐标方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为即为所求．2．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρ·cos＝2.(1)求圆O1和圆O2的直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[解](1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.因为ρ2－2ρcos＝2，所以ρ2－2ρ＝2，所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin＝.⊙考点3　求曲线的极坐标方程　求简单曲线的极坐标方程的方法(1)设点M(ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用三角函数及正、余弦定理求解|OM|与θ的关系．(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．　(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．[解](1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤，则2cos θ＝，解得θ＝；若≤θ≤，则2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；若≤θ≤π，则－2cos θ＝，解得θ＝.综上，P的极坐标为或或或.　本题易错点有二：一是第(1)问没有对圆的极坐标方程进行范围限制；二是写点P的极坐标时，当≤θ≤时，只得到θ＝一个结果．　在极坐标系中，圆C是以点C为圆心，2为半径的圆．(1)求圆C的极坐标方程；(2)求圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长．[解](1)圆C是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cos.(2)将θ＝－代入圆C的极坐标方程ρ＝4cos得ρ＝2，所以圆C被直线l所截得的弦长为2.⊙考点4　曲线极坐标方程的应用　利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直角坐标系中求最值的运算量小．　(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．[解](1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·＝2≤2＋.当α＝－时，S取得最大值2＋.所以△OAB面积的最大值为2＋.　在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．[教师备选例题]　已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝，以极点为平面直角坐标系的原点O，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)A，B为曲线C上两点，若OA⊥OB，求＋的值．[解](1)由ρ2＝得ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝9，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得到曲线C的直角坐标方程是＋y2＝1.(2)因为ρ2＝，所以＝＋sin2θ，由OA⊥OB，设A(ρ1，α)，则点B的坐标可设为，所以＋＝＋＝＋sin2θ＋＋cos2α＝＋1＝.　在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．[解](1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.