2021届高考数学（文）一轮复习学案：第1节绝对值不等式

第13章 选修4-5

第一节　绝对值不等式

[最新考纲]　1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.

1．绝对值三角不等式

定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

2．绝对值不等式的解法

(1)|x|<a与|x|>a型不等式的解法：

(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：

①利用绝对值不等式的几何意义求解；

②利用零点分段法求解；

③构造函数，利用函数的图像求解．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.  (　　)

(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为. (　　)

(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立． (　　)

(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立． (　　)

[答案](1)×　(2)√　(3)×　(4)√

二、教材改编

1．不等式1<|x＋1|<3的解集为(　　)

A．(0,2)　　 B．(－2,0)∪(2,4)

C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)

D　[原不等式等价于1<x＋1<3或－3<x＋1<－1，

∴0<x<2或－4<x<－2，

∴原不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)，故选D.]

2．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为(　　)

A．2 B．4

C．6 D．10

A　[由|x－4|＋|x－6|的几何意义可知|x－4|＋|x－6|≥2，故选A.]

3．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.

2　[由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.

∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.]

4．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．

{x|x≥1}　[令f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝当－1＜x＜2时，

由2x－1≥1，解得1≤x＜2.又当x≥2时，f(x)＝3＞1恒成立．所以不等式的解集为{x|x≥1}．]

⊙考点1　绝对值不等式的常用解法

　解绝对值不等式的常用方法

 (1)解不等式x＋|2x＋3|≥2.

(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.

①当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

②若x∈(0,1)时，不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．

[解](1)原不等式可化为或

解得x≤－5或x≥－.

综上，原不等式的解集是.

(2)①当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，

即f(x)＝

故不等式f(x)>1的解集为.

②当x∈(0,1)时，|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0,1)时，|ax－1|<1成立．

若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax－1|≥1；

若a>0，|ax－1|<1的解集为，所以≥1，故0<a≤2.

综上，a的取值范围为(0,2]．

　解答例(2)第②问时，求出|ax－1|＜1的解集后，易错误的认为＜1，导致解题错误．

　(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．

[解](1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于

x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①

当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；

当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；

当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，

从而1＜x≤.

所以f(x)≥g(x)的解集为.

(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，

所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.

又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，

所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.

所以a的取值范围为[－1,1]．

⊙考点2　绝对值三角不等式的应用

　利用绝对值三角不等式求最值(或证明)

(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．

(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．

 (1)若对于实数x，y有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，求|2x＋3y＋1|的最大值．

[解]　因为|2x＋3y＋1|＝|2(x－1)＋3(y＋1)|≤2|x－1|＋3|y＋1|≤7，

所以|2x＋3y＋1|的最大值为7.

(2)若a≥2，x∈R，求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.

[证明]　因为|x－1＋a|＋|x－a|≥|(x－1＋a)－(x－a)|＝|2a－1|，

又a≥2，故|2a－1|≥3，

所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3成立．

　本例(2)的证明使用了放缩法，即先证明|x－1＋a|＋|x－a|≥|2a－1|，然后再证明|2a－1|≥3.

　已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.

(1)解不等式f(x)＜|x|＋1；

(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：f(x)＜1.

[解](1)∵f(x)＜|x|＋1，

∴|2x－1|＜|x|＋1，

即或

或

得≤x＜2或0＜x＜或无解．

故不等式f(x)＜|x|＋1的解集为{x|0＜x＜2}．

(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×＋＝＜1.

故不等式f(x)＜1得证．

⊙考点3　绝对值不等式的综合应用

　两招解不等式问题中的含参问题

(1)问题转化

①把存在性问题转化为求最值问题，即f(x)＞a有解⇔f(x)max＞a.

②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；

③不等式的解集为的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.

(2)求最值

求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：

①利用绝对值的几何意义；

②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；

③利用零点分区间法．

　(2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|.

(1)解关于x的不等式f(x)－f(x＋1)≤1；

(2)若关于x的不等式f(x)＜m－f(x＋1)的解集不是空集，求m的取值范围．

[解](1)f(x)－f(x＋1)≤1⇔|2x－1|－|2x＋1|≤1，

则或

或解得x≥或－≤x＜，

即x≥－，

所以原不等式的解集为.

(2)由条件知，不等式|2x－1|＋|2x＋1|＜m有解，则m＞(|2x－1|＋|2x＋1|)min即可．

由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋(2x＋1)|＝2，当且仅当(1－2x)(2x＋1)≥0，即x∈时等号成立，故m＞2.所以m的取值范围是(2，＋∞)．

　本例第(2)问中不等式f(x)＜m－f(x＋1)的解集不是空集，即不等式有解，是存在性问题，可转化为m＞[f(x)＋f(x＋1)]min.

　1.(2019·洛阳模拟)已知函数f(x)＝|x－5|.

(1)解不等式：f(x)＋f(x＋2)≤3；

(2)若a＜0，求证：f(ax)－f(5a)≥af(x)．

[解](1)不等式化为|x－5|＋|x－3|≤3.

当x＜3时，原不等式等价于－2x≤－5，即≤x＜3；

当3≤x≤5时，原不等式等价于2≤3，即3≤x≤5；

当x＞5时，原不等式等价于2x－8≤3，即5＜x≤.

综上，原不等式的解集为.

(2)证明：由题意得

f(ax)－af(x)＝|ax－5|－a|x－5|＝|ax－5|＋|ax－5a|＝|ax－5|＋|－ax＋5a|≥|ax－5－ax＋5a|＝|5a－5|＝f(5a)．

所以f(ax)－f(5a)≥af(x)成立．

2．已知函数f(x)＝|x＋m|＋|2x－1|(m∈R)，若关于x的不等式f(x)≤|2x＋1|的解集为A，且A，求实数m的取值范围．

[解]　∵A，

∴当x∈时，不等式f(x)≤|2x＋1|恒成立，

即|x＋m|＋|2x－1|≤|2x＋1|在x∈上恒成立，

∴|x＋m|＋2x－1≤2x＋1，

即|x＋m|≤2在x∈上恒成立，

∴－2≤x＋m≤2，

∴－x－2≤m≤－x＋2在x∈上恒成立，

∴(－x－2)max≤m≤(－x＋2)min，

∴－≤m≤0，

故实数m的取值范围是.