2021高三统考北师大版数学一轮学案：第1章第1讲　集合及其运算

第一章　集合与常用逻辑用语
第1讲　集合及其运算
基础知识整合

1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法

集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R

2．集合间的基本关系
　　表示
关系　　
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素相同
A⊆B且B⊆A
⇔A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
AB或BA
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
∅⊆A
∅B(B≠∅)

3．集合的基本运算

并集
交集
补集
图形



符号
A∪B＝
{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝
{x|x∈A且x∈B}
∁UA＝
{x|x∈U且x∉A}


1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
2．A∪∅＝A，A∪A＝A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)．
3．A∩∅＝∅，A∩A＝A，A∩B⊆A，A∩B⊆B．
4．A∩B＝A∪B⇔A＝B．
5．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅.
6．A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A．
7．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．
8．如图所示，用集合A，B表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A ∩B，A∩(∁UB)，B∩(∁UA)，∁U(A∪B)．

9．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．

1．(2019·浙江高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1，0,1}，则(∁UA)∩B＝(　　)
A．{－1} B．{0,1}
C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}
答案　A
解析　∵U＝{－1,0,1,2,3}，A＝{0,1,2}，∴∁UA＝{－1，3}．又B＝{－1,0,1}，∴(∁UA)∩B＝{－1}．故选A．
2．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，A∩(∁UB)＝{3}，则B＝(　　)
A．{1,2} B．{1,2,4}
C．{2,4} D．∅
答案　A
解析　结合Venn图(如图)可知B＝{1,2}，故选A．

3．(2019·河南百校联盟联考)已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋1，x∈R}，集合B＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}，则集合A∩B的子集个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　D
解析　因为直线y＝x＋1与抛物线y＝x2有2个交点，所以集合A∩B有2个元素，故A∩B的子集有4个，故选D．
4．(2019·辽宁丹东测试二)已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　若B为空集，则方程ax＝1无解，解得a＝0；若B不为空集，则a≠0，由ax＝1解得x＝，所以＝－1或＝2，解得a＝－1或a＝，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为，故选D．
5．(2020·镇海中学摸底)设集合A＝{y|y＝}，B＝{x|y＝}，则下列结论正确的是(　　)
A．A＝B B．A⊆B
C．B⊆A D．A∩B＝{x|x≥1}
答案　D
解析　∵A＝{y|y＝}＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝}＝{x|x≥1或x≤－1}，∴A∩B＝{x|x≥1}，故选D．
6．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)
A．9 B．8
C．5 D．4
答案　A
解析　∵x2＋y2≤3，∴x2≤3.∵x∈Z，∴x＝－1,0,1.
当x＝－1时，y＝－1,0,1；当x＝0时，y＝－1,0,1；当x＝1时，y＝－1,0,1，综上，A中元素共有9个，故选A．
核心考向突破
考向一　集合的基本概念

例1　(1)(2019·辽宁沈阳模拟)已知集合A＝{y|y＝x2＋2x＋1}，B＝{x|y＝x2＋2x＋1}，则集合A与集合B的关系为(　　)
A．A＝B B．A∈B
C．B⊆A D．AB
答案　D
解析　集合A表示二次函数y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2中y的取值范围，显然y≥0，即A＝{y|y≥0}；集合B表示函数y＝x2＋2x＋1中x的取值范围，易知x∈R，即B＝R，所以AB．故选D．
(2)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a＋b为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．±1
答案　C
解析　由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去．因此a＝－1，故a＋b＝－1，故选C．

解决集合概念问题的一般思路
(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．解本例(1)时要注意，集合A是函数值域构成的数集，集合B是函数定义域构成的数集．
(2)本例(2)中参数的确定，往往要对集合中的元素进行分类讨论，构造方程组求解．同时注意对元素互异性的检验．

[即时训练]　1.(2020·河南洛阳一中月考)设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　A
解析　若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3.当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1，故选A．
2．设集合A＝，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝(　　)
A．{2,3} B．{－1,2,5}
C．{2,3,5} D．{－1,2,3,5}
答案　D
解析　由A∩B＝{2，－1}，可得或
当时，此时B＝{2,3，－1}，所以A∪B＝{－1,2,3,5}；当时，此时不符合题意，舍去．故选D．
考向二　集合间的基本关系

例2　(1)(2019·山东日照模拟)已知集合A＝，B＝{x|≤2，x∈Z}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
答案　D
解析　由≤0得0