2021高三统考北师大版数学一轮学案：第1章第3讲　简单逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3讲　简单逻辑联结词、全称量词与存在量词基础知识整合1．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立” 用符号简记为：∀x∈M，p(x).(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0).2．含有一个量词的命题的否定 命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，¬p(x) 1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判定pqp∧qp∨q¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真 2．确定p∧q，p∨q，¬p真假的记忆口诀如下：p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p与¬p→真假相反．3．“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”．4．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．5．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．6．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，否命题是“若¬p，则¬q”．1．命题p：“∀x∈N*，x≤”的否定为(　　)A．∀x∈N*，x> B．∀x∉N*，x>C．∃x∉N*，x> D．∃x∈N*，x>答案　D解析　全称命题的否定为特称命题，方法是改量词，否结论，故选D．2．如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么(　　)A．命题p一定是真命题B．命题q一定是真命题C．命题q一定是假命题D．命题q可以是真命题也可以是假命题答案　D解析　∵¬p是真命题，∴p是假命题，又p∧q是假命题，∴q可真可假，故选D．3．若命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)A．[－1,3] B．(－1,3)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案　D解析　因为命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”等价于“x＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝ (a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.4．命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数学成绩低于100分，则p∨(¬q)表示(　　)A．甲、乙两人数学成绩都低于100分B．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C．甲、乙两人数学成绩都不低于100分D．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分答案　D解析　因为命题q：乙的数学成绩低于100分，所以命题¬q表示乙的数学成绩不低于100分，所以命题p∨(¬q)表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分．故选D．5．(2019·广东七校联考)下列说法正确的是(　　)A．命题“若|x|＝5，则x＝5”的否命题为“若|x|＝5，则x≠5”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x0∈R,3x＋2x0－1>0”的否定是“∀x∈R,3x2＋2x－1<0”D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题答案　D解析　A中，命题“若|x|＝5，则x＝5”的否命题为“若|x|≠5，则x≠5”，故A不正确；B中，由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或x＝6，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故B不正确；C中，“∃x0∈R,3x＋2x0－1>0”的否定是“∀x∈R,3x2＋2x－1≤0”，故C不正确；D中，命题“若x＝y，则sinx＝siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D正确，故选D．6．(2019·广东深圳三校联考)已知命题p：不等式ax2＋ax＋1>0的解集为R，则实数a∈(0,4)，命题q：“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是(　　)A．p∧q B．p∧(¬q)C．(¬p)∧(¬q) D．(¬p)∧q答案　D解析　命题p：a＝0时，可得1>0恒成立；a≠0时，可得解得0<a<4，综上，可得实数a∈[0,4)，因此p是假命题，则¬p是真命题；命题q：由x2－2x－8>0解得x>4或x<－2.因此“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，是真命题，故(¬p)∧q是真命题．故选D．核心考向突破考向一　含有逻辑联结词命题真假的判断例1　(1)在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次．设命题p是“甲试驾成功”，q是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为(　　)A．(¬p)∨(¬q) B．p∨(¬q)C．(¬p)∧(¬q) D．p∨q答案　A解析　命题“至少有一位学员没有试驾成功”包含以下三种情况：“甲、乙均没有试驾成功”“甲试驾成功，乙没有试驾成功”“乙试驾成功，甲没有试驾成功”．故选A．(2)(2020·安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋>3，命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是(　　)A．p∧(¬q) B．(¬p)∧qC．p∧q D．(¬p)∨q答案　A解析　命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋>3，当x0＝3时，x0＋＝>3，命题p为真；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，当x＝4时，42＝24，命题q为假，所以p∧(¬q)为真，故选A．判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)定结构：先判断复合命题的结构形式．(2)辨真假：判断构成这个命题的每一个简单命题的真假性．(3)下结论：依据“有真或为真，有假且为假，p和¬p真假相反”，作出判断．[即时训练]　1.(2019·衡水模拟)已知命题p：∃x>e，x>ln x；命题q：∀a>1，b>1，logab＋2logba≥2，则下列命题中为真命题的是(　　)A．(¬p)∧q B．p∧qC．p∧(¬q) D．p∨(¬q)答案　A解析　因为∀x>e，x<1<ln x，因此命题p是假命题；因为∀a>1，b>1，logab>0，logba>0，所以logab＋2logba＝logab＋≥2＝2，当且仅当logab＝时取等号．因此q是真命题．则为真命题的是(¬p)∧q.故选A．2．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是________.①p为真  ②¬q为假③p∧q为假  ④p∨q为真⑤(¬p)∧(¬q)为真  ⑥¬(p∨q)为真．答案　③⑤⑥解析　p，q均为假，故p∧q为假，p∨q为假，(¬p)∧(¬q)为真，¬(p∨q)为真． 精准设计考向，多角度探究突破考向二　全称命题、特称命题角度　　全称命题、特称命题的否定例2　(1)(2019·贵州联考)已知命题p：∀x >0，总有(x＋1)ex>1，则¬p为(　　)A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．∃x0>0，使得(x0 ＋1)e x0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1答案　B解析　命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1的否定为∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1，故选B．(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案　B解析　根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论．如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．[即时训练]　3.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n<xD．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n<x答案　D解析　先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论．故选D．4．命题“奇数的立方是奇数”的否定是____________________.答案　存在一个奇数，它的立方不是奇数解析　此命题隐含了全称量词“所有”，故否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．角度　　全称命题、特称命题真假的判断例3　以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)A．锐角三角形有一个内角是钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使>2答案　B解析　选项A中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A是假命题；选项B中，当x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；选项C中，因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；选项D中，对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．故选B．全称命题与特称命题真假性的两种判断方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假.
命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真 [即时训练]　5.(2020·江西师大附中月考)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是(　　)A．∀x∈R，f(－x)≠f(x) B．∀x∈R，f(－x)≠－f(x)C．∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0) D．∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)答案　C解析　设命题p：∀x∈R，f(x)＝f(－x)，∵f(x)不是偶函数，∴p是假命题，则¬p是真命题，又¬p：∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)，故选C．考向三　利用复合命题的真假求参数范围例4　(1)(2019·山西大同质检)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为(　　)A．[1,4] B．[1，e]C．[e,4] D．[4，＋∞)答案　C解析　若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x0∈R，使x＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]．故选C．(2)(2019·金华联考)已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集为R.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是________.答案　(1,2]∪[3，＋∞)解析　p为真命题，有解得m>2.q为真命题，有Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1<0，解得1<m<3.由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知p与q一真一假．当p真q假时，由得m≥3；当p假q真时，由得1<m≤2.综上，实数m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况；本例(2)中有两种情况)．(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围．(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．[即时训练]　6.已知命题p：关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x<0}，命题q：函数y＝lg (ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________.答案　∪[1，＋∞)解析　由关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x<0}，知0<a<1；由函数y＝lg (ax2－x＋a)的定义域为R，知不等式ax2－x＋a>0的解集为R，则解得a>.因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，故或解得a≥1或0<a≤，故实数a的取值范围是∪[1，＋∞)．