2021高三统考北师大版数学一轮学案：第2章第7讲　函数的图象


第7讲　函数的图象
基础知识整合

1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
y＝f(x)y＝f(x－a)；
y＝f(x)y＝f(x)＋b.
(2)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ωx)；
y＝f(x)y＝Af(x)．
(3)对称变换
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(－x).
(4)翻折变换
y＝f(x)y＝f(|x|)；
y＝f(x)y＝|f(x)|.

1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
2．上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”．
3．函数图象的对称性
(1)函数图象自身的轴对称
①f(－x)＝f(x)⇔y＝f(x)的图象关于y轴对称；
②函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；
③若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)函数图象自身的中心对称
①f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称；
②函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)；
③函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．
(3)两个函数图象之间的对称关系
①函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
②函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
③函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；
④函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．

1．(2020·山东师大附中月考)函数y＝log2|x|的图象大致是(　　)

答案　C
解析　函数y＝log2|x|为偶函数，作出x>0时y＝log2x的图象，图象关于y轴对称，应选C．
2．函数y＝1－的图象是(　　)

答案　B
解析　将函数y＝－的图象向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，即得到y＝1－的图象，故选B．
3．下列函数f(x)图象中，满足f>f(3)>f(2)的只可能是(　　)

答案　D
解析　因为f>f(3)>f(2)，所以函数f(x)有增有减，不选A，B．又C中，ff(0)，即f0时，y＝f(|x|)＝f(x)，其图象在y轴右侧与图①的相同，不符合，故错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f(x)，显然B错误；对于D，当x0时，两函数图象有且只有一个交点，即|x|＝a－x只有一个解．
核心考向突破
考向一　画函数图象

例1　作出下列函数的图象：
(1)y＝|x－2|·(x＋2)；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.
解　(1)函数式可化为y＝
其图象如图(1)实线所示．
　　
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(2)所示．
(3)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图(3)所示．
　
(4)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，最后得函数图象如图(4)所示．

函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，可根据这些函数的特征描出图象的关键点，进而直接作出函数图象．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图．
(4)画函数的图象一定要注意定义域．
(5)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

[即时训练]　1.作出下列各函数的图象：
(1)y＝x－|x－1|；(2)y＝|x2－4x＋3|；
(3)y＝|x|；(4)y＝|log2x－1|.
解　(1)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y＝可见其图象是由两条射线组成，如图(1)所示．

(2)函数式可化为y＝
图象如图(2)所示．
(3)作出y＝x的图象，保留y＝x的图象中x≥0的部分，加上y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图(3)实线部分．

(4)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图(4)所示．

精准设计考向，多角度探究突破
考向二　识图与辨图
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度1　　知式选图

例2　(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)

答案　D
解析　∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A．又f＝＝>1，f(π)＝>0，排除B，C．故选D．
角度2　　知图选式

例3　(2019·四川百校模拟冲刺卷)若函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)

A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
答案　C
解析　当x→0时，f(x)→±∞，而A中的f(x)→0，排除A；当x＜0时，f(x)＜0，而B中x＜0时，f(x)＝>0，D中，f(x)＝>0，排除B，D，故选C．
角度　　知图选图

例4　已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)


答案　B
解析　y＝f(x)y＝f(－x)
y＝f(2－x)
y＝－f(2－x)．选B．

函数图象的识辨
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．

[即时训练]　2.(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6,6]的图象大致为(　　)

答案　B
解析　∵y＝f(x)＝，x∈[－6,6]，
∴f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，排除选项C．
当x＝4时，y＝＝∈(7,8)，排除选项A，D．故选B．
3．下列四个函数中，图象如图所示的只能是(　　)

A．y＝x＋lg x B．y＝x－lg x
C．y＝－x＋lg x D．y＝－x－lg x
答案　B
解析　(特殊值法)当x＝1时，由图象知y>0，而C，D中y0，而A中y＝＋lg ＝－b)，若f(x)的图象如图所示，则g(x)＝ax＋b的图象是(　　)


答案　A
解析　由图可知b