2021高三统考北师大版数学一轮学案：第4章第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数

第四章   三角函数、解三角形第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数基础知识整合1．角的概念(1)分类(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l＝|α|r；③扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2.说明：②③公式中的α必须为弧度制！3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．(3)三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．2．象限角3．轴线角4．重要结论若α∈，则tanα>α>sinα.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．(2019·山东枣庄模拟)设角α的终边与单位圆相交于点P，则sinα－cosα的值是(　　)A．－   B．－  C.   D．答案　A解析　由题意知sinα＝－，cosα＝，所以sinα－cosα＝－－＝－.故选A.2.给出下列四个命题：①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数是(　　)A．1   B．2  C．3   D．4答案　C解析　①中－是第三象限角，故①错．②，＝π＋，从而是第三象限角，正确．③，－400°＝－360°－40°，从而③正确．④，－315°＝－360°＋45°，从而④正确．故选C.3．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)A．2kπ＋45°(k∈Z)   B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)   D．kπ＋(k∈Z)答案　C解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．4．若sinθcosθ<0，则角θ是(　　)A．第一或第二象限角   B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角   D．第二或第四象限角答案　D解析　因为sinθcosθ<0，所以或所以角θ是第二或第四象限角．故选D.5．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　　)A．10π   B．9π C.   D．答案　D解析　单位圆的半径r＝1,200°的弧度数是200×＝，由弧度数的定义得＝，所以l＝.6．(2019·三明模拟)若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为________．答案　－4解析　由三角函数的定义有：tan420°＝.又tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝，故＝，得a＝－4. 核心考向突破考向一　角的概念及表示例1　(1)设集合M＝，N＝，判断两集合的关系为(　　)A．M＝N   B．MNC．NM   D．M∩N＝∅答案　B解析　解法一：由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有MN.解法二：在集合M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；在集合N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有MN.故选B.(2)已知角α的终边在第二象限，则的终边在第________象限．答案　一或三解析　因为角α的终边在第二象限，所以＋k·2π<α<π＋k·2π，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z.所以当k＝2m(m∈Z)时，＋m·2π<<＋m·2π，此时的终边在第一象限；当k＝2m＋1(m∈Z)时，＋m·2π<<＋m·2π，此时的终边在第三象限．综上，的终边在第一或第三象限．  1．终边相同角的集合的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．2．象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中作出已知角，并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为2kπ＋α(α∈[0,2π)，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．3．求或nθ(n∈N*)所在象限的方法(1)将θ的范围用不等式(含有k)表示．(2)两边同除以n或乘n.(3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限．(4)对判断象限问题可采用等分象限法．  [即时训练]　1.(2019·绵阳质检)点A(sin2019°，cos2019°)在直角坐标平面上位于(　　)A．第一象限   B．第二象限C．第三象限   D．第四象限答案　C解析　sin2019°＝sin219°＝－sin39°＜0，cos2019°＝cos219°＝－cos39°＜0.选C.2．(2019·潍坊模拟)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)答案　C解析　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样．故选C.精准设计考向，多角度探究突破考向二　三角函数的定义及其应用角度1　　利用定义求三角函数的值例2　(1)已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a<0)，则2sinα＋cosα的值为(　　)A．－   B．C．0   D．或－答案　A解析　因为x＝－4a，y＝3a，a＜0，所以r＝－5a，所以sinα＝－，cosα＝，2sinα＋cosα＝2×＋＝－.故选A.(2)(2019·福州检测)若角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα和tanα的值．解　设α终边上任一点为P(－4a,3a)，a≠0，当a>0时，r＝5a，sinα＝，cosα＝－，tanα＝－；当a<0时，r＝－5a，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.角度2　　判断三角函数值的符号例3　(1)(2019·吉林模拟)若sinαtanα＜0，且＜0，则角α是(　　)A．第一象限角   B．第二象限角C．第三象限角   D．第四象限角答案　C解析　角α在第三象限时，sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，满足题意．选C.(2)sin2·cos3·tan4的值(　　)A．小于0   B．大于0  C．等于0   D．不存在答案　A解析　∵＜2＜3＜π＜4＜，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.∴sin2·cos3·tan4＜0.选A.角度3　　利用三角函数的定义求参数例4　(1)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝(　　)A.   B．  C．－   D．－答案　D解析　∵α是第二象限角，∴x＜0.又由题意知＝x，解得x＝－3.∴tanα＝＝－.(2)(2019·莆田模拟)若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝，则a的值为(　　)A．4   B．±4C．－4或－   D．答案　C解析　由三角函数的定义得sinα·cosα＝·＝＝，即a2＋16a＋16＝0，解得a＝－4或a＝－.故选C.角度4　　利用三角函数线解决三角不等式例5　函数y＝lg (2sinx－1)＋的定义域为________．答案　解析　要使函数有意义，必须有即如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．2．要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解．3．利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤(1)用边界值定出角的终边位置． (2)根据不等式(组)定出角的范围．(3)求交集，找单位圆中公共的部分． (4)写出角的表达式．  [即时训练]　3.(2019·温州模拟)若角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值为(　　)A.   B．－  C．－   D．－答案　C解析　∵x＝2sin30°＝1，y＝－2cos30°＝－，∴r＝|OP|＝＝2，∴sinα＝＝－.故选C.4．设α是第四象限角，则以下函数值一定为负值的是(　　)A．tan   B．sin  C．cos   D．cos2α答案　A解析　因为2kπ－<α<2kπ(k∈Z)，所以kπ－<<kπ，4kπ－π<2α<4kπ，k∈Z.故cos2α，cos，sin的值正负不定．当k为偶数时，是第四象限角；当k为奇数时，是第二象限角．因此tan<0.故选A.5．若α是第二象限角，其终边上一点P(x，)，且cosα＝x，则sinα的值是(　　)A.   B．  C.   D．－答案　A解析　r＝|PO|＝，由三角函数的定义知cosα＝＝x，则x2＋5＝8.sinα＝＝＝.故选A.6．sin1，cos1，tan1的大小关系是(　　)A．sin1<cos1<tan1   B．tan1<sin1<cos1C．cos1<tan1<sin1   D．cos1<sin1<tan1 答案　D解析　如图，单位圆中∠MOP＝1 rad> rad.因为OM<<MP<AT，所以cos1<sin1<tan1.故选D.考向三　扇形的弧长、面积公式例6　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l，(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解　(1)∵α＝60°＝ rad，R＝10 cm，∴扇形的弧长l＝α·R＝×10＝(cm)．(2)由题意得l＋2R＝20，∴l＝20－2R.∴S扇＝lR＝(20－2R)·R＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25.∴当R＝5 cm时，S扇有最大值25 cm2.此时l＝20－2×5＝10(cm)，α＝＝＝2 rad.∴当α＝2 rad时，扇形面积最大． 弧长和扇形面积的计算方法(1)在弧度制下，记住下列公式①弧长公式：l＝|α|r；②扇形的面积公式：S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角，r是扇形的半径)． (2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．  [即时训练]　7.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是(　　)A．2   B．2sin1C.   D．sin2答案　C解析　∵2Rsin1＝2，∴R＝，l＝|α|R＝.故选C.8．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．答案　3解析　设圆的半径为r，弧长为l，则其弧度数为.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则圆心角的弧度数变为＝3·，即圆心角的弧度数变为原来的3倍．1.不等式sinx≥的解集为________．答案　解析　过点作平行于x轴的直线，交单位圆于点P1，P2，则以OP1，OP2为终边的角分别为＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)，其正弦值为，终边落在阴影部分的角的正弦值不小于，所以sinx≥的解集为.2．函数f(x)＝＋lg (2cosx－)的定义域为________．答案　解析　由得在单位圆中分别画出不等式①②的解集对应的区域，其公共区域为不等式组的解集，∴函数f(x)的定义域为.答题启示利用三角函数线解三角不等式，通常采用数形结合的方法，一般来说sinx≥b，cosx≥a，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围．对点训练1．不等式cosx≥－的解集为________．答案　解析　过点作垂直于x轴的直线与单位圆交于点Q1，Q2，则以OQ1，OQ2为终边的角的余弦值为－，其对应的角分别为2kπ＋，2kπ－(k∈Z)，终边落在阴影部分的角的余弦值不小于－.∴cosx≥－的解集为.2．(2019·郑州模拟)函数y＝lg (2sinx－1)＋的定义域为________．答案　(k∈Z)解析　要使原函数有意义，必须有即如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为(k∈Z)．