2021高三统考北师大版数学一轮学案：第5章第3讲　平面向量的数量积及应用


第3讲　平面向量的数量积及应用
基础知识整合


1．向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角

设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°
θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b

2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积


3．向量数量积的运算律
交换律
a·b＝b·a
分配律
(a＋b)·ca·c＋b·c
数乘结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)

4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cosθ＝
cosθ＝

a⊥b的
充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与
|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤



1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．数量积不满足结合律，即(a ·b)·c≠a·(b·c)．
3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝.
4．有关向量夹角的两个结论：
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为a与b夹角为0时也有a·b>0)．
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b