2021高三统考北师大版数学一轮学案：第6章第2讲　等差数列及其前n项和


第2讲　等差数列及其前n项和
基础知识整合

1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.

等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列，其公差为n2d.
(7)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S偶－S奇＝nd，＝.
(8)若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．
(9)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．
(10)由公式Sn＝na1＋得＝a1＋d
＝n＋a1－，因此数列是等差数列，首项为a1，公差为等差数列{an}公差的一半．
(11)等差数列与函数的关系
①an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数．当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．
②Sn＝n2＋n.当d≠0时，它是关于n的二次函数．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2019·河北邯郸模拟)在等差数列{an}中，a3＋a4＝12，公差d＝2，则a9＝(　　)
A．14 B．15
C．16 D．17
答案　D
解析　⇒a1＝1，
∴a9＝a1＋8d＝1＋16＝17.故选D.
2．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
答案　A
解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由S4＝0，a5＝5可得解得所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.故选A.
3．(2019·湖北武汉调研)若等差数列{an}的前n项和Sn满足S4＝4，S6＝12，则S2＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．3
答案　B
解析　根据等差数列的性质，可得S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，即2(S4－S2)＝S2＋S6－S4，因此S2＝0.故选B.
4．(2019·宁夏银川模拟)在等差数列{an}中，S5＝25，a2＝3，则a7＝(　　)
A．13 B．12
C．15 D．14
答案　A
解析　∵S5＝＝5a3＝25，∴a3＝5，又a2＝3，∴d＝a3－a2＝2，∴a7＝a3＋4d＝5＋8＝13.故选A.
5．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.
答案　100
解析　∵{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13，∴公差d＝＝＝2，首项a1＝a3－2d＝5－2×2＝1，
∴S10＝10a1＋d＝100.
6．(2019·北京高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．
答案　0　－10
解析　∵a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，
∴a1＝－4，d＝1，
∴a5＝a1＋4d＝0，
∴an＝a1＋(n－1)d＝n－5.
令an<0，则n<5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后为正．
∴Sn的最小值为S4＝S5＝－10.

核心考向突破
考向一　等差数列的基本运算　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　(1)(2019·西安八校联考)设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　)
A．S4 C．S4>S1 D．S4＝S1
答案　B
解析　设{an}的公差为d，由a2＝－6，a6＝6，得
解得于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)＋×3＝－18，S4＝4×(－9)＋×3＝－18，所以S4＝S3，S4 (2)(2019·潍坊模拟)在等差数列{an}中，公差d≠0，若lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，且a5＝10，则{an}的前5项和S5＝(　　)
A．40 B．35
C．30 D．25
答案　C
解析　因为lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，所以2lg a2＝lg a1＋lg a4⇒lg a＝lg a1a4⇒a＝a1a4⇒d2＝a1d，因为d≠0，所以a1＝d，又a5＝a1＋4d＝10，所以a1＝2，d＝2，S5＝5a1＋d＝30.选C.
(3)(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝________.
答案　4
解析　由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1，
所以S10＝10a1＋d＝100a1，
S5＝5a1＋d＝25a1，所以＝4.


等差数列计算中的两个技巧
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量转换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．



[即时训练]　1.(2018·全国卷Ⅰ)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)
A．－12 B．－10
C．10 D．12
答案　B
解析　设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得3×＝2×2＋d＋4×2＋·d，整理解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10.故选B.
2．(2019·江苏高考)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．
答案　16
解析　解法一：由S9＝27⇒＝27⇒a1＋a9＝6⇒2a5＝6⇒2a1＋8d＝6且a5＝3.
又a2a5＋a8＝0⇒2a1＋5d＝0，
解得a1＝－5，d＝2.
故S8＝8a1＋d＝16.
解法二：同解法一得a5＝3.
又a2a5＋a8＝0⇒3a2＋a8＝0⇒2a2＋2a5＝0⇒a2＝－3.
∴d＝＝2，a1＝a2－d＝－5.
故S8＝8a1＋d＝16.
3．已知数列{an}中，a3＝7，a7＝3，且是等差数列，则a10＝________.
答案　
解析　设等差数列的公差为d，
∵是等差数列，＝，＝，
∴＝＋4d，即＝＋4d，解得d＝，故＝＋7d＝＋7×＝，解得a10＝.
精准设计考向，多角度探究突破
考向二　等差数列的性质
角度1　　等差数列项的性质
例2　(1)(2019·温州模拟)等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值是(　　)
A．14 B．15
C．16 D．17
答案　C
解析　因为{an}是等差数列，所以a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，所以a8＝24.所以a9－a11＝a8＋d－(a8＋3d)＝a8＝16.故选C.
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a5＋a8＝30，则下列一定为定值的是(　　)
A．S6 B．S7
C．S8 D．S9
答案　D
解析　由a2＋a5＋a8＝30可得3a5＝30，所以a5＝10，S6＝3(a1＋a6)不一定是定值；S7＝(a1＋a7)不一定是定值；S8＝4(a1＋a8)不一定是定值；S9＝＝＝90.选D.



等差数列项的性质：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将an＋am＝2ak(n＋m＝2k，n，m，k∈N*)与am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)相结合，可减少运算量．



[即时训练]　4.(2019·河南豫南、豫北联考)等差数列{an}中，a4＋a10＋a16＝30，则a18－2a14的值为(　　)
A．20 B．－20
C．10 D．－10
答案　D
解析　∵a4＋a10＋a16＝3a10＝30，∴a10＝10，又2a14＝a18＋a10，∴a18－2a14＝－a10＝－10，故选D.
5．(2019·福建漳州模拟)在等差数列{an}中，若S9＝18，Sn＝240，an－4＝30，则n的值为(　　)
A．14 B．15
C．16 D．17
答案　B
解析　由等差数列的性质知S9＝＝9a5＝18，∴a5＝2，又an－4＝30.∴Sn＝＝＝16n＝240，∴n＝15.故选B.
角度2　　等差数列前n项和的性质
例3　(1)(2019·四川双流中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40＝(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
答案　B
解析　由等差数列的性质知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列，设其公差为d，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴S20＝S10＋＝1＋＝.∴d＝(S20－S10)－S10＝，∴S40－S30＝1＋3×＝3，∴S40＝8.故选B.
(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d＝________.
答案　5
解析　设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得
又因为S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.


等差数列前n项和的性质
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则：
(1)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列；
(2)也为等差数列；
(3)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(4)S2n－1＝(2n－1)an；
(5)若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．



[即时训练]　6.(2019·大同模拟)在等差数列{an}中，a1＋a2＋…＋a50＝200，a51＋a52＋…＋a100＝2700，则a50＝(　　)
A．－22.5 B．－21.5
C．28.5 D．20
答案　C
解析　由(a51＋a52＋…＋a100)－(a1＋a2＋…＋a50)＝50×50d＝2700－200，得d＝1.由a1＋a100＋a2＋a99＋…＋a50＋a51＝50(a50＋a51)＝2700＋200＝2900，得a50＋a51＝58，即2a50＋d＝58，所以a50＝＝＝28.5.故选C.
7．(2019·汕头模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，－＝－4，则Sn取最大值时的n为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．4或5
答案　B
解析　由{an}为等差数列，得－＝a5－a3＝2d＝－4，即d＝－2，由于a1＝9，所以an＝－2n＋11，令an＝－2n＋11<0，得n>，所以Sn取最大值时的n为5，故选B.
考向三　等差数列的判定与证明　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4　(1)(2019·辽宁大连模拟)数列{an}满足a1＝2，a2＝1并且＝－(n≥2)，则数列{an}的第100项为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　∵＝－(n≥2)，∴＋＝，∴为等差数列，首项为＝，第二项为＝1，
∴d＝，∴＝＋99d＝50，∴a100＝.
(2)(2019·贵州适应性考试)已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
①求a2，a3；
②证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
解　①由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，
又因为a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
②证明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，
得＝2，即－＝2，
所以数列是首项为＝1，公差为d＝2的等差数列，则＝1＋2(n－1)＝2n－1.
所以an＝2n2－n.


等差数列的判定方法

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数．
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立．
(3)通项公式法：验证an＝pn＋q.
(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.
提醒：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．



[即时训练]　8.(2019·河南郑州模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝4,2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)，当an＝298时，项数n＝(　　)
A．100 B．99
C．96 D．101
答案　A
解析　因为2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)，所以an－an－1＝an＋1－an.由a1＝1，a2＝4得d＝a2－a1＝3，所以数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2.由3n－2＝298，解得n＝100.故选A.
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．
(1)求a2的值并证明：an＋2－an＝2；
(2)求数列{an}的通项公式．
解　(1)令n＝1得2a1a2＝4S1－3，
又a1＝1，∴a2＝.
2anan＋1＝4Sn－3，①
2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.②
②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1.
∵an≠0，∴an＋2－an＝2.
(2)由(1)可知：
数列a1，a3，a5，…，a2k－1，…为等差数列，公差为2，首项为1，
∴a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，
则当n为奇数时，an＝n.
数列a2，a4，a6，…，a2k，…为等差数列，公差为2，首项为，
∴a2k＝＋2(k－1)＝2k－，
则当n为偶数时，an＝n－.
综上所述，an＝

1．(2019·长春市模拟)等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时，n的值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
答案　C
解析　∵|a6|＝|a11|且公差d>0，∴a6＝－a11，
∴a6＋a11＝a8＋a9＝0，且a8<0，a9>0，
∴a1 ∴Sn取最小值时，n的值为8.故选C.
2．(2019·北京海淀模拟)等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为________时，Sn最大．
答案　7
解析　解法一：由S3＝S11，得
3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1.
从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1.
又因为a1>0，所以－<0.故当n＝7时，Sn最大．
解法二：由于f(x)＝ax2＋bx是关于x的二次函数，且(n，Sn)在二次函数f(x)的图象上，由S3＝S11，可知f(x)＝ax2＋bx的图象关于直线x＝＝7对称．由解法一可知a＝－<0，故当x＝7时，f(x)最大，即当n＝7时，Sn最大．
解法三：由解法一可知d＝－a1.要使Sn最大，
则有即
解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．
解法四：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，
即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，
故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0，
所以a7>0，a8<0，所以当n＝7时，Sn最大．
答题启示
求等差数列前n项和最值的常用方法
(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.
(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．
(3)项的符号法：当a1>0，d<0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a1<0，d>0时，满足
的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小．若有零项，则使Sn取最值的n有两个．
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

对点训练
1．(2019·广东佛山模拟)设等差数列{an}满足3a8＝5a15，且a1>0，Sn为其前n项和，则数列{Sn}的最大项为(　　)
A．S23 B．S24
C．S25 D．S26
答案　C
解析　设等差数列的公差为d，∵3a8＝5a15，∴3a1＋21d＝5a1＋70d，∴a1＋24d＝0.∵a1>0，∴d<0，∴a1＋24d＝a25>0，a1＋25d＝a26<0，∴数列{Sn}最大项为S25.故选C.
2．(2019·黑龙江哈尔滨模拟)已知数列{an}为等差数列，若<－1，且其前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的最大值n为(　　)
A．11 B．19
C．20 D．21
答案　B
解析　∵Sn＝n2＋n有最大值，∴d<0，又<－1，∴a10>0，a11<0，∴a10＋a11<0，即a1＋a20<0，∴S20＝10(a1＋a20)<0，又S19＝＝19a10>0，∴使Sn>0的n的最大值为19.故选B.