2021高三统考北师大版数学一轮学案：第6章第3讲　等比数列及其前n项和


第3讲　等比数列及其前n项和
基础知识整合

1．等比数列的有关概念
(1)定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.
(2)等比中项
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab(ab≠0)．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：
Sn＝

等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.
(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(5)a1a2a3…am，am＋1am＋2…a2m，a2m＋1a2m＋2…a3m，…成等比数列(m∈N*)．
(6)若等比数列的项数为2n(n∈N*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则＝q.
(7)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
(8)等比数列{an}满足或时，{an}是递增数列；满足或时，{an}是递减数列．
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　)
A．16 B．8
C．4 D．2
答案　C
解析　由题意知
解得∴a3＝a1q2＝4.故选C.
2．(2019·广西柳州模拟)设等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　S4＝＝15a1，a3＝a1q2＝4a1，∴＝.故选A.
3．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
答案　B
解析　由anan＋1＝16n，得an＋1·an＋2＝16n＋1.两式相除得，＝＝16，∴q2＝16.∵anan＋1＝16n，可知公比为正数，∴q＝4.
4．(2019·长春模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，且a2＝－2，则a7＝(　　)
A．16 B．32
C．64 D．128
答案　C
解析　由题意得Sn＋2＋Sn＋1＝2Sn，得an＋2＋an＋1＋an＋1＝0，即an＋2＝－2an＋1，∴{an}从第二项起是公比为－2的等比数列，∴a7＝a2q5＝64.故选C.
5．已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值为(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
答案　A
解析　根据等比数列的性质，得a2a4＝a，a4a6＝a，
∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2.
而a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，∴(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5＝5.
6．(2019·全国卷Ⅰ)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________.
答案　
解析　由a＝a6，得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝＝3.∴S5＝＝.

核心考向突破
考向一　等比数列的基本运算　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　(1)(2019·汕头模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝3a1＋a2，则＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　B
解析　设等比数列的公比为q，由题意a1＋a2＋a3＝3a1＋a2得a3＝2a1(a1≠0)，∴q2＝＝2，∴＝＝1＋q2＝3.故选B.
(2)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
①求{an}的通项公式；
②记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
解　①设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
②若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.


解决等比数列有关问题的常用思想方法
(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．
(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，数列{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，数列{an}的前n项和Sn＝＝.



[即时训练]　1.等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a2＋a4＝30，则数列{an}的前5项和S5＝(　　)
A．81 B．90
C．100 D．121
答案　D
解析　∵等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a2＋a4＝30，
∴公比q＝＝＝3，∴a1＋9a1＝10，解得a1＝1，∴数列{an}的前5项和S5＝＝121.故选D.
2．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.
答案　
解析　设等比数列的公比为q，又a1＝1，则an＝a1qn－1＝qn－1.
∵S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝，
即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，
∴S4＝＝.
3．(2019·安徽皖江名校联考)已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝________.
答案　128
解析　∵a2·a4＝a＝16，∴a3＝4(负值舍去)，
∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴q≠1，S2＝＝＝3，∴3q2－4q－4＝0，解得q＝－或q＝2，∵an>0，∴q＝－舍去，∴q＝2，∴a1＝1，
∴a8＝27＝128.
精准设计考向，多角度探究突破
考向二　等比数列的性质
角度1　　等比数列项的性质　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2　(1)(2019·四川绵阳模拟)等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋2a2＝4，a＝4a3a7，则a5＝(　　)
A. B.
C．20 D．40
答案　B
解析　设等比数列的公比为q.由a＝4a3a7，得a＝4a，所以q2＝2＝，解得q＝±.又因为数列的各项均为正数，所以q＝.又因为a1＋2a2＝4，所以a1＋2a1q＝a1＋2a1×＝4，解得a1＝2，所以a5＝a1q4＝2×4＝.故选B.
(2)在等比数列{an}中，公比q>1，a1＋am＝17，a2am－1＝16，且前m项和Sm＝31，则项数m＝________.
答案　5
解析　由等比数列的性质知a1am＝a2am－1＝16，又因为a1＋am＝17，q>1，所以a1＝1，am＝16，Sm＝＝＝＝31，解得q＝2，am＝a1qm－1＝2m－1＝16.所以m＝5.



在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有aman＝apaq”，则可减少运算量，解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．



[即时训练]　4.(2019·福建三明模拟)已知数列{an}是各项均为正值的等比数列，且a4a12＋a3a5＝15，a4a8＝5，则a4＋a8＝(　　)
A．15 B.
C．5 D．25
答案　C
解析　∵a4a12＋a3a5＝15，∴a＋a＝15，又a4a8＝5，∴(a4＋a8)2＝a＋a＋2a4a8＝25，又a4＋a8>0，∴a4＋a8＝5.故选C.
5．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－，则当Tn取最大值时，n的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
答案　C
解析　等比数列{an}的前n项积为Tn，
由a1＝－24，a4＝－，
可得q3＝＝，解得q＝，
∴Tn＝a1a2a3…an＝(－24)n·q1＋2＋…＋(n－1)
＝(－24)n·n(n－1)，当Tn取最大值时，可得n为偶数，当n＝2时，T2＝(－24)2·＝192；当n＝4时，T4＝(－24)4·6＝；当n＝6时，T6＝(－24)6·15＝，则T6，前3天走的路程为192＋96＋48＝336(里)，则后3天走的路程为378－336＝42(里)，故选C.