2021高三统考北师大版数学一轮学案：第7章第1讲　不等关系与不等式


第七章 不等式
第1讲　不等关系与不等式
基础知识整合

1．比较两个实数的大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a0，则有>1⇔a>b；＝1⇔a＝b；<1⇔a 2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb>0，c>d>0⇒ac>bd；
(5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)；
(6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．

1．a>b，ab>0⇒<.
2．a<0 3．a>b>0,0.
4．0 5．若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0)；>；<(b－m>0)．
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．M >N B．M＝N
C．M 答案　A
解析　M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，所以M>N.故选A.
2．(2019·河南洛阳模拟)若a A.> B.>0
C．a2 答案　C
解析　∵ab2，C错误．故选C.
3．若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是(　　)
A．－n C．m<－n<－m 答案　D
解析　(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验，可知D正确．
4．(2019·衡阳模拟)若a，b，c为实数，且a A．ac2 C.> D．a2>ab>b2
答案　D
解析　∵c为实数，∴取c＝0，得ac2＝0，bc2＝0，此时ac2＝bc2，故A不正确；－＝，∵a0，ab>0，∴>0，即>，故B不正确；∵a0，∴a2>ab，又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，故a2>ab>b2，D正确．故选D.
5．已知a，b，c∈R，有以下命题：
①若<，则<；②若<，则a ③若a>b，则a·2c>b·2c.
其中正确的是________(请把正确命题的序号都填上)．
答案　②③
解析　①若c≤0，则命题不成立．②由<得<0，于是a0知命题正确．故正确命题的序号为②③.

核心考向突破
考向一　不等式的性质　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　(1)(2019·豫西南联考)如果a>0>b且a2>b2，那么以下不等式中正确的个数是(　　)
①a2b0>；③a3 A．0 B．1
C．2 D．3
答案　C
解析　由得a2b0，∴>0，又b<0，∴<0，∴>0>，②正确；由得a3>ab2，③不正确．故选C.
(2)已知a，b∈R，下列四个条件中，使>1成立的必要不充分条件是(　　)
A．a>b－1 B．a>b＋1
C．|a|>|b| D．ln a>ln b
答案　C
解析　由>1⇔－1>0⇔>0⇔(a－b)b>0⇔a>b>0或a|b|，但由|a|>|b|不能得到a>b>0或a1，故|a|>|b|是使>1成立的必要不充分条件．故选C.


解决此类题目常用的三种方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
(2)利用特殊值法排除错误答案．
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．



[即时训练]　1.(2019·山西联考)下列选项中，>的一个充分不必要条件是(　　)
A.> B．lg a>lg b
C．a2>b2 D．ea>eb
答案　B
解析　由函数y＝lg x的单调性知lg a>lg b⇔a>b>0⇒>，但> lg a>lg b，如a＝1，b＝0.故选B.
2．(2019·安徽淮北模拟)若a ①a2＋1>b2；②|1－a|>|b－1|；③>>.
其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　D
解析　因为a|b|>0，所以a2>b2，所以a2＋1>b2，故①正确．又因为－a>－b>0，所以－a＋1>－b＋1>0，所以|1－a|>|b－1|，故②正确．因为a＋b>，故③正确．所以三个不等式都正确．故选D.
精准设计考向，多角度探究突破
考向二　比较两个数(式)的大小
角度1　　作差法
例2　(1)(2019·河北邯郸一模)已知a>b>0，m>0，则(　　)
A.＝ B.>
C.< D.与的大小关系不确定
答案　C
解析　－＝＝.
因为a>b>0，m>0，所以b－a<0，a＋m>0，
所以<0，即－<0，所以<.
(2)若x>0且x≠1，p，q∈N＋，则1＋xp＋q与xp＋xq的大小关系为________．
答案　1＋xp＋q>xp＋xq
解析　1＋xp＋q－(xp＋xq)＝(1－xp)(1－xq)．
若x>1，则1－xp<0,1－xq<0，
∴(1－xp)(1－xq)>0，即1＋xp＋q>xp＋xq；
若x<1，则1－xp>0,1－xq>0，
∴(1－xp)(1－xq)>0，即1＋xp＋q>xp＋xq.
综上，1＋xp＋q>xp＋xq.
角度2　　作商法
例3　(1)设a，b都是正数，且a≠b，则aabb与abba的大小关系是________．
答案　aabb>abba
解析　＝aa－b·bb－a＝a－b.
若a>b，则>1，a－b>0，
∴a－b>1，∴aabb>abba；
若a1，
∴aabb>abba.
(2)若a＝，b＝，则a________b(填“>”或“<”)．
答案　<
解析　易知a，b都是正数，＝＝log89>1，所以b>a.
角度3　　特殊值法
例4　(1)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一个颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz
答案　B
解析　采用特值法进行求解验证即可，若x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可知最低的总费用是az＋by＋cx.
(2)若实数x，y满足x2 A．x C.< D．|x|<|y|
答案　D
解析　当x＝1，y＝－2时，有x2y，故A错误；当x＝－1，y＝－2时，有x2y，故B错误；当x＝1，y＝－2时，有x2，故C错误；若x2 角度4　　中间量法
例5　(1)(2019·四川宜宾模拟)已知实数a＝ln (ln π)，b＝ln π，c＝2ln π，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a C．b 答案　A
解析　因为e<π (2)若0 答案　logb 解析　∵01.又0 ∴logblogbb＝1，
∴logb 角度5　　单调性法
例6　(1)已知实数a，b∈(0,1)，且满足cosaπ A．ln a C.< D．a3 答案　C
解析　因为a，b∈(0,1)，则aπ，bπ∈(0，π)，而函数y＝cosx在(0，π)上单调递减，因为cosaπbπ，即a>b，由函数y＝ln x，y＝sinx，y＝x3在(0,1)上均为增函数，知只有C正确．
(2)(2019·江南十校模拟)若b>a>3，f(x)＝，则下列各结论中正确的是(　　)
A．f(a) C．f() 答案　D
解析　因为b>a>3，所以3e，则有f(b)


(1)作差法的步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．
(2)作商法的步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．
(3)特殊值法比较大小的思路
利用特殊值法比较不等式的大小时需要注意以下问题：选择项两数(式)大小是确定的，如果出现两数(式)大小由某个参数确定或大小不确定的选项，就无法通过特殊值进行检验；赋值应该满足前提条件；当一次赋值不能确定准确的选项，则可以通过二次赋值检验，直至得到正确选项．
(4)中间量法比较大小的思路
利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间变量，指数式比较大小，一般选取1和指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0和1作为中间值，其实质就是根据对数函数f(x)＝logax的单调性判断其与f(1)，f(a)的大小．
(5)①利用函数的性质比较数、式的大小，得到函数的单调区间是问题求解的关键，解题时，指数、对数、三角函数单调性的运用是解题的主要形式；
②通过对称性、周期性，可以将比较大小的数、式转化到同一个单调区间，有利于其大小比较；
③导数工具的应用，拓宽了这类问题的命题形式，同时增大了解题难度，值得我们关注和重视．



[即时训练]　3.(2019·大庆模拟)设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
答案　A
解析　∵a＝log3π>log33＝1，b＝log2 ∴a>b，又＝＝(log23)2>1，∴b>c，故a>b>c.故选A.
4．设α∈，T1＝cos(1＋α)，T2＝cos(1－α)，则T1与T2的大小关系为________．
答案　T1 解析　T1－T2＝(cos1cosα－sin1sinα)－(cos1cosα＋sin1sinα)＝－2sin1sinα<0，所以T1 5．已知a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与(ab)的大小．
解　∵a>0，b>0，
∴＝a(a－)b(b－)＝ab＝，
若a>b>0，则>1，a－b>0.
由指数函数的性质，得>1；
若b>a>0，则0<<1，a－b<0.
由指数函数的性质，得>1.
∴>1，∴aabb>(ab).
考向三　不等式性质的应用
例7　(1)若角α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是________．
答案　
解析　因为－<α<β<，所以－<α<，－<β<，－<－β<，而α<β，所以－π<α－β<0，所以2α－β＝(α－β)＋α∈.
(2)已知－1 答案　(3,8)
解析　解法一：设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，
对应系数相等，则⇒
∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)∈(3,8)．
解法二：令∴
∴2x－3y＝2－3＝－＋b∈(3,8)．


利用不等式性质求代数式的取值范围
由a


[即时训练]　6.若实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．
答案　27
解析　解法一：由3≤xy2≤8,4≤≤9，可知x>0，y>0，且≤≤，16≤≤81，得2≤≤27，故的最大值是27.
解法二：设＝m(xy2)n，
则x3y－4＝x2m＋ny2n－m，
所以即
又16 ≤2≤81，≤(xy2)－1≤，
∴2≤≤27，故的最大值为27.
7．已知12 解　∵15 ∴12－36 ∵15 ∴<<，∴<<4.
∴a－b和的取值范围分别是(－24,45)，.