2021高三统考北师大版数学一轮学案：第9章第2讲　两直线的位置关系


第2讲　两直线的位置关系
基础知识整合

1．两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直
(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
2．几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.

1．三种常见的直线系方程
(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C0＝0(C≠C0)；
(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C0＝0；
(3)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，这个直线系不包括直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，解题时，注意检验l2是否满足题意，以防漏解)．
2．四种常见的对称
(1)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
(3)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
(4)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．

1．(2019·广东惠阳模拟)点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为(　　)
A．2 B．
C． D．
答案　C
解析　点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝＝.故选C．
2．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
答案　A
解析　因为所求直线与直线x－2y－2＝0平行，所以设直线方程为x－2y＋c＝0，又直线经过点(1,0)，得出c＝－1，故所求直线方程为x－2y－1＝0.
3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件．
4．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为(　　)
A．－12 B．－2
C．0 D．10
答案　A
解析　由2m－20＝0，得m＝10.由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得10＋4p－2＝0.解得p＝－2.又因为垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，解得n＝－12.
5．(2019·重庆模拟)光线从点A(－3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离为(　　)
A．5 B．2
C．5 D．10
答案　C
解析　点B(2,10)关于x轴的对称点为B′(2，－10)，由对称性可得光线从A到B的距离为|AB′|＝＝5.故选C．
6．(2019·云南师大附中适应性月考)已知倾斜角为α的直线l与直线m：x－2y＋3＝0垂直，则cos2α＝________.
答案　－
解析　直线m：x－2y＋3＝0的斜率是，∵l⊥m，∴直线l的斜率是－2，故tanα＝－2，∴