2021高三统考北师大版数学一轮学案：第9章第3讲　圆的方程

第3讲　圆的方程基础知识整合1．圆的定义、方程(1)在平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．(2)确定一个圆的基本要素：圆心和半径.(3)圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．(4)圆的一般方程①一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；②方程表示圆的充要条件：D2＋E2－4F>0；③圆心坐标：，半径r＝.2．点与圆的位置关系(1)理论依据点与圆心的距离与半径的大小关系．(2)三个结论圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，d为圆心到点M的距离．①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上⇔d＝r；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外⇔d>r；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内⇔d<r.求圆的方程，如果能借助圆的几何性质，能使解题思路简化减少计算量，常用的几何性质有：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)A．－ B．－C． D．2答案　A解析　圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为＝1，解得a＝－.故选A．2．(2019·江西南昌模拟)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是(　　)A．(－1,1) B．(－，)C．(－，) D．答案　C解析　∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－<m<，故选C．3．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－2) B．C．(－2,0) D．答案　D解析　由圆的一般方程的系数关系可得a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，化简得3a2＋4a－4<0，解得－2<a<.4．圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0答案　B解析　设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5.∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.5．(2019·福建厦门模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为(　　)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1答案　A解析　设中点为A(x，y)，圆上任意一点为B(x′，y′)，由题意得，则故(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得，(x－2)2＋(y＋1)2＝1.6．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．答案　x2＋y2－2x＝0解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则解得所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.核心考向突破考向一　求圆的方程例1　(1)(2019·海南海口模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为(　　)A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案　C解析　到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立得方程组解得又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.故选C．(2)已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的方程为________．答案　x2＋y2＋2x＋4y－5＝0解析　解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得解得故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.解法二：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为.由题意得解得故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设出圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．[即时训练]　1.已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　)A．2＋y2＝ B．2＋y2＝C．2＋y2＝ D．2＋y2＝答案　C解析　因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.则圆E的半径为EB＝＝，所以圆E的标准方程为2＋y2＝.2．(2019·江苏镇江模拟)圆心在直线y＝－4x上，并且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程为________.答案　(x－1)2＋(y＋4)2＝8解析　设圆心A的坐标为(x，－4x)，则kAP＝，kl＝－1，又圆A与直线l相切，∴kAP·kl＝－1，∴x＝1，∴A(1，－4)，r＝＝2，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.考向二　与圆有关的轨迹问题例2　(2019·内蒙古模拟)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B．(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．解　(1)由x2＋y2－6x＋5＝0，得(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3,0)．(2)设点M(x，y)，因为点M为线段AB的中点，所以C1M⊥AB，所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时，可得·＝－1，整理得2＋y2＝，又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3,0)，代入上式成立．设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立，消去y得，(1＋k2)x2－6x＋5＝0.令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝，此时方程为x2－6x＋5＝0，解上式得x＝，因此<x≤3.所以线段AB的中点M的轨迹的方程为2＋y2＝.求与圆有关的轨迹方程的方法[即时训练]　3.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)．(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.精准设计考向，多角度探究突破考向三　与圆有关的最值问题角度1　借助于几何性质求最值例3　(1)圆A：x2＋y2－4x＋4y＋6＝0上的动点M到坐标原点O的距离的最大值、最小值分别是________，________.答案　3　解析　∵⊙A：(x－2)2＋(y＋2)2＝2，∴圆心A(2，－2)，半径r＝，∴|OA|＝2，则|OM|max＝2＋＝3，|OM|min＝2－＝.(2)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.①求的最大值和最小值；②求y－x的最大值和最小值；③求x2＋y2的最大值和最小值．解　①原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－.②y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.③x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.角度2　构建目标函数求最值例4　(2019·江西新余模拟)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)A．7 B．6C．5 D．4答案　B解析　解法一：由(x－3)2＋(y－4)2＝1，知圆上点P(x0，y0)可化为∵∠APB＝90°，即·＝0，∴(x0＋m)(x0－m)＋y＝0，∴m2＝x＋y＝26＋6cosθ＋8sinθ＝26＋10sin(θ＋φ)，∴4<m≤6，即m的最大值为6.故选B．解法二：∵在Rt△APB中，原点O为斜边中点，|AB|＝2m(m>0)，∴m＝|OP|≤|OC|＋r，C(3,4)，r＝1，∴|OP|≤6，即m≤6.故选B．与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值①形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．[即时训练]　4.(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)A．[2,6] B．[4,8]C．[，3] D．[2，3]答案　A解析　∵直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于点A，B，∴A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2.∵点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，圆心为(2,0)，∴圆心到直线的距离d1＝＝2，故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的范围为[，3]，则S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]．故选A．5．设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则·的最大值为________．答案　12解析　由题意，得＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.