2021高三统考北师大版数学一轮学案：第9章高考大题冲关系列（5）　高考解析几何中的热点题型



命题动向：从近五年的高考试题来看，圆锥曲线问题在高考中属于必考内容，并且常常在同一份试卷上多题型考查．对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法：第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识；第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题，解决此类问题的关键是通过联立方程来解决．
题型1　最值、范围问题
角度1　　最值问题
例1　(2020·武汉摸底)如图，已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线－＝1的两条渐近线为l1，l2.过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1.设直线l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B，直线l与直线l2交于P点．

(1)若l1与l2的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程；
(2)求的最大值．
解　(1)因为双曲线方程为－＝1，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，
因为两渐近线的夹角为60°且0)的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.

(1)求p的值及抛物线的准线方程；
(2)求的最小值及此时点G的坐标．
解　(1)由题意得＝1，即p＝2.
所以抛物线的准线方程为x＝－1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)．令yA＝2t，t≠0，则xA＝t2.
由于直线AB过F，故直线AB的方程为x＝y＋1，
代入y2＝4x，得y2－y－4＝0，
故2tyB＝－4，即yB＝－，所以B.
又xG＝(xA＋xB＋xC)，yG＝(yA＋yB＋yC)及重心G在x轴上，得2t－＋yC＝0，
得C，G.
所以直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，得Q(t2－1,0)．
由于Q在焦点F的右侧，故t2>2.从而
＝
＝
＝＝2－.
令m＝t2－2，则m>0，
＝2－＝2－
≥2－＝1＋.
当m＝时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．
角度2　　范围问题
例2　(2020·沈阳摸底)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过焦点F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

(1)求椭圆C的方程；
(2)点P(x0，y0)(y0≠0)为椭圆C上一动点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的平分线PM交椭圆C的长轴于点M(m,0)，求实数m的取值范围．
解　(1)将x＝c代入＋＝1中，由a2－c2＝b2，可得y2＝，所以过焦点F2且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为.
由解得
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)解法一：因为点P(x0，y0)(y0≠0)，F1(－，0)，
F2(，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为
l1：y0x－(x0＋)y＋y0＝0，
l2：y0x－(x0－)y－y0＝0.
由题意可知＝ .
由于点P为椭圆C上除左、右顶点外的任一点，
所以＋y＝1，
所以＝，
因为－0，∴x1＋x2＝－，
∴y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝，
则AB的中点坐标为.
AB与MF2的中点重合，∴
∴代入椭圆的方程＋＝1化简得80k4＋24k2－27＝0，解得k2＝，即k＝±.
∴存在符合条件的直线l的方程为y＝±(x＋1)．
[冲关策略]　存在性问题的解题策略
存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
变式训练5　(2020·三明高中月考)设椭圆E的方程为＋y2＝1(a>0)，点O为坐标原点，点A，B的坐标分别为(a,0)，(0,1)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若斜率为k的直线l交椭圆E于C，D两点，交y轴于点T(0，t)(t≠1)，问是否存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．
解　(1)设点M的坐标为(x0，y0)，
＝＝，
＝＋＝，
∴x0＝，y0＝，又＝，∴a＝2，
∴椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋t，代入＋y2＝1，得
(4k2＋1)x2＋8ktx＋4t2－4＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
假设存在实数t，使得以CD为直径的圆恒过点B，则⊥.∵＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，
∴·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝0，
即x1x2＋(kx1＋t－1)(kx2＋t－1)＝0，得
(k2＋1)x1x2＋k(t－1)(x1＋x2)＋(t－1)2＝0，
整理得5t2－2t－3＝0，解得t＝－(t≠1)，
即当t＝－时，符合题意．