2021高三统考北师大版数学一轮学案：选修4－5第1讲绝对值不等式

选修4－5 不等式选讲
第1讲　绝对值不等式
基础知识整合

1．绝对值不等式的解法
(1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方转化为二次不等式求解．
(2)形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式
①绝对值不等式|x|>a与|x|0
a＝0
a0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．
2．绝对值不等式的应用
(1)定理：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式
①|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
②||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
③||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.

1．在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题，能有效避免分类讨论不全面的问题．若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．
2．绝对值不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件．

1．不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为(　　)
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[3，＋∞)
D．(－∞，－3]∪[2，＋∞)
答案　D
解析　原不等式等价于或
或即或或解得x≤－3或x∈∅或x≥2，所以x≤－3或x≥2.
2．若不等式|a－2x|≤x＋3对任意x∈[0,2]恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．[－1,3]
C．(1,3) D．[1,3]
答案　B
解析　由题意可得当x∈[0,2]时，f(x)＝|a－2x|的图象恒在直线y＝x＋3的下方或在直线y＝x＋3上，如图，

所以得①或②
由①可得－1≤a