2021高考数学一轮复习学案：第一章1.3全称量词与存在量词

§1.3　全称量词与存在量词

1．全称量词和存在量词

(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．

(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．

2．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定

概念方法微思考

1．怎样判断一个存在性命题是真命题？

提示　要判定存在性命题“∃x∈M，P(x)”，只需在集合M找到一个x，使P(x)成立即可．

2．命题p和綈p可否同时为真，思考一下此结论在解题中的作用？

提示　命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题．(　×　)

(2)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(　×　)

(3)写存在性命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　√　)

题组二　教材改编

2．命题“∀x∈R，x2＋x＋1>0”的否定是________．

答案　∃x∈R，x2＋x＋1≤0

3．命题“∃x∈N，x2≤0”的否定是________．

答案　∀x∈N，x2>0

4．命题“对于函数f (x)＝x2＋(a∈R)，存在a∈R，使得f (x)是偶函数”为________命题．(填“真”或“假”)

答案　真

解析　当a＝0时，f (x)＝x2(x≠0)为偶函数．

题组三　易错自纠

5．(多选)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有(　　)

A．∃x∈R，x2－x＋<0

B．所有的正方形都是矩形

C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0

D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0

答案　AC

解析　由条件可知：原命题为存在性命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋

＝2≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以AC均为存在性命题且为假命题，故选AC.

6．下列命题中的假命题是________．(填序号)

①∃x∈R，lg x＝1；

②∃x∈R，sin x＝0；

③∀x∈R，x3>0；

④∀x∈R,2x>0.

答案　③

解析　当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；

当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；

当x<0时，x3<0，则③为假命题；

由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题．

7．若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．

答案　(－∞，－1]

解析　命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，等价于∀t∈R，t2－2t－a≥0是真命题，

∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.

∴实数a的取值范围是(－∞，－1]．

全称命题、存在性命题的真假

例1　(1)以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是(　　)

A．锐角三角形有一个内角是钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使>2

答案　B

解析　A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．

(2)下列四个命题：

①∃x∈(0，＋∞)，；

②∃x∈(0,1)，；

③∀x∈(0，＋∞)，x>；

④∀x∈，x<.

其中真命题的序号为________．

答案　②④

解析　对于①，当x∈(0，＋∞)时，总有x>x成立，故①是假命题；

对于②，当x＝时，有成立，故②是真命题；

对于③，当0<x<时，>1>x，故③是假命题；

对于④，∀x∈，x<1<，故④是真命题．

思维升华　判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立．

跟踪训练1　(1)下列命题中的假命题是(　　)

A．∀x∈R,2x－1>0   B．∀x∈N*，(x－1)2>0

C．∃x∈R，lg x<1   D．∃x∈R，tan x＝2

答案　B

解析　当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.

(2)已知函数f (x)＝，则(　　)

A．∃x∈R，f (x)<0

B．∀x∈(0，＋∞)，f (x)≥0

C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，<0

D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，f (x1)>f (x2)

答案　B

解析　幂函数f (x)＝的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A错误，B正确，C错误，D选项中当x1＝0时，结论不成立．

含有一个量词的命题的否定

1．已知命题p：“∃x∈R，－x－1≤0”，则綈p为(　　)

A．∃x∈R，－x－1≥0

B．∃x∈R，－x－1>0

C．∀x∈R，ex－x－1>0

D．∀x∈R，ex－x－1≥0

答案　C

解析　根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.

2．(2020·山东模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为(　　)

A．所有正方形都不是平行四边形

B．有的平行四边形不是正方形

C．有的正方形不是平行四边形

D．不是正方形的四边形不是平行四边形

答案　C

解析　“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈p为有的正方形不是平行四边形．

3．命题：“∃x∈R，sin x＋cos x>2”的否定是________________．

答案　∀x∈R，sin x＋cos x≤2

4．(2019·邯郸一中测试)若命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p是____________________．

答案　∃x∈(0，＋∞)，≤x＋1

思维升华　对全称命题、存在性命题进行否定的方法

(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；

(2)对原命题的结论进行否定．

根据命题的真假求参数的取值范围

例2　(1)已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为__________．

答案　(－∞，－2]

解析　由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.

(2)已知f (x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f (x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．

答案　

解析　当x∈[0,3]时，f (x)min＝f (0)＝0，当x∈[1,2]时，

g(x)min＝g(2)＝－m，由题意得f (x)min≥g(x)min，

即0≥－m，所以m≥.

本例中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．

答案　

解析　当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，

由题意得f (x)min≥g(x)max，即0≥－m，∴m≥.

思维升华　(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．

(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．

跟踪训练2　(1)由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.

答案　1

解析　由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，

所以Δ＝4－4m<0，即m>1，

故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.

(2)若f (x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x∈[－1,2]，使g(x1)＝f (x)，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x∈[－1,2]，使得g(x1)＝f (x)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f (x)值域的子集．函数f (x)的值域是[－1,3]，因为a>0，所以函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤.故a的取值范围是.