2021高考数学一轮复习学案：第一章1.4不等关系与不等式

§1.4　不等关系与不等式1．两个实数比较大小的方法(1)作差法 (a，b∈R)(2)作商法 (a∈R，b>0)2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性⇒ac>bc注意c的符号⇒ac<bc同向可加性⇒a＋c>b＋d⇒同向同正可乘性⇒ac>bd⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)a，b同为正数 概念方法微思考1．若a>b，且a与b都不为0，则与的大小关系确定吗？提示　不确定．若a>b，ab>0，则<，即若a与b同号，则分子相同时，分母大的反而小；若a>0>b，则 >，即正数大于负数．2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示　可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　√　)(2)若>1，则a>b.(　×　)(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　×　)(4)a>b>0，c>d>0⇒>.(　√　)题组二　教材改编2．若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　　)A．充分不必要条件   B．必要不充分条件C．充要条件   D．既不充分又不必要条件答案　A解析　－>0⇒>⇒a>b⇒a2>b2，但a2－b2>0⇏－>0.3．若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　)A.－>0   B.－<0C.>   D.<答案　D解析　∵c<d<0，∴0<－d<－c，又0<b<a，∴－bd<－ac，即bd>ac，又∵cd>0，∴>，即>.题组三　易错自纠4．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的(　　)A．充分不必要条件   B．必要不充分条件C．充要条件   D．既不充分又不必要条件答案　A解析　若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件．故选A.5．(多选)下列命题为真命题的是(　　)A．若a>b>0，则ac2>bc2B．若a<b<0，则a2>ab>b2C．若a>b>0且c<0，则>D．若a>b且>，则ab<0答案　BCD解析　当c＝0时，不等式不成立，∴A命题是假命题；⇒a2>ab，⇒ab>b2，∴a2>ab>b2，∴B命题是真命题；a>b>0⇒a2>b2>0⇒0<<，∵c<0，∴>，∴C命题是真命题；>⇒－>0⇒>0，∵a>b，∴b－a<0，ab<0，∴D命题是真命题，∴本题选BCD.6．(2019·北京市海淀区育英学校期中)若实数a, b满足0<a<2, 0<b<1，则a－b的取值范围是________．答案　(－1,2)解析　∵0<b<1，∴－1<－b<0, ∵0<a<2，∴－1<a－b<2. 比较两个数(式)的大小例1　(1)若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)A．p<q   B．p≤qC．p>q   D．p≥q答案　B解析　(作差法)p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)·＝＝，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q.故选B.(2)已知a>b>0，比较aabb与abba的大小．解　∵＝＝a－b，又a>b>0，故>1，a－b>0，∴a－b>1，即>1，又abba>0，∴aabb>abba，∴aabb与abba的大小关系为aabb>abba.思维升华　比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．跟踪训练1　(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为________．答案　M>N解析　因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.(2)若a>0，且a≠7，则(　　)A．77aa<7aa7B．77aa＝7aa7C．77aa>7aa7D．77aa与7aa7的大小不确定答案　C解析　＝77－aaa－7＝7－a，则当a>7时，0<<1,7－a<0，则7－a>1，∴77aa>7aa7；当0<a<7时，>1,7－a>0，则7－a>1，∴77aa>7aa7.综上，77aa>7aa7. 不等式的基本性质例2　(1)(2020·武汉部分市级示范高中联考)下列命题中正确的是(　　)A．若a>b，则ac2>bc2B．若a>b，c<d，则>C．若a>b，c>d，则a－c>b－dD．若ab>0，a>b，则<答案　D解析　对于A选项，当c＝0时，不成立，故A选项错误；当a＝1，b＝0，c＝－2，d＝－1时，<，故B选项错误；当a＝1，b＝0，c＝1，d＝0时，a－c＝b－d，故C选项错误，故D选项正确．(2)(多选)若<<0，则下列结论正确的是(　　)A．a2<b2   B．ab<b2C．a＋b<0   D．|a|＋|b|>|a＋b|答案　ABC解析　由题意可知b<a<0，所以A，B，C正确，而|a|＋|b|＝－a－b＝|a＋b|，故D错误．思维升华　判断不等式的常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．跟踪训练2　(1)(多选)(2019·天津市河北区模拟)若a，b，c∈R，给出下列命题中，正确的有(　　)A．若a>b，c>d，则a＋c>b＋dB．若a>b，c>d，则b－c>a－dC．若a>b，c>d，则ac>bdD．若a>b，c>0，则ac>bc答案　AD解析　∵a>b，c>d，由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d，故A正确；由A正确，可知B不正确；取4>－2，－1>－3，则4×(－1)<(－2)×(－3)，故C不正确；∵a>b，c>0，∴ac>bc.故D正确．综上可知，只有AD正确．故选AD.(2)已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是(　　)A．ab>ac   B．c(b－a)<0C．cb2<ab2   D．ac(a－c)>0答案　A解析　由c<b<a且ac<0，知c<0且a>0.由b>c，得ab>ac一定成立． 不等式性质的综合应用命题点1　判断不等式是否成立例3　(2019·北京师范大学附属中学期中)若b<a<0，则下列不等式：①|a|>|b|；②a＋b<ab；③<2a－b中，正确的不等式有(　　)A．0个  B．1个  C．2个  D．3个答案　C解析　对于①，因为b<a<0，所以|b|>|a|，故①错误；对于②，因为b<a<0，所以a＋b<0，ab>0，a＋b<ab，故②正确；对于③，－2a＋b＝＝<0，<2a－b，故③正确．故选C.命题点2　求代数式的取值范围例4　已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案　(－4,2)　(1,18)解析　∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.若将本例条件改为－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围．解　设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则∴即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，又∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，∴－<(x＋y)<10,1<(x－y)<，∴－<(x＋y)＋(x－y)<，即－<3x＋2y<，∴3x＋2y的取值范围为.思维升华　(1)判断不等式是否成立的方法①逐一给出推理判断或反例说明．②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．(2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3　(1)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中不一定成立的是(　　)A．    B.－c>－cC.>   D．ac2<bc2答案　D解析　因为y＝在(0，＋∞)上是增函数，所以；因为y＝－c在(0，＋∞)上是减函数，所以－c>－c；因为－＝>0，所以>；当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立．故选D.(2)已知π<α＋β<，－π<α－β<－，则2α－β的取值范围是________．答案　解析　设2α－β＝m(α＋β)＋n(α－β)，则∴即2α－β＝(α＋β)＋(α－β)，∵π<α＋β<，－π<α－β<－，∴<(α＋β)<，－<(α－β)<－，∴－π<(α＋β)＋(α－β)<，即－π<2α－β<，∴2α－β的取值范围是..