2021高考数学一轮复习学案：第一章1.6基本不等式及其应用

§1.6　基本不等式及其应用

1．基本不等式：≤

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

(2)＋≥2(a，b同号)．

(3)ab≤2 (a，b∈R)．

(4)≥2 (a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)

概念方法微思考

1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？

提示　不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．

2．函数y＝x＋的最小值是2吗？

提示　不是．因为函数y＝x＋的定义域是{x|x≠0}，当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋无最小值．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数f (x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　×　)

(2)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　×　)

(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　√　)

(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　×　)

题组二　教材改编

2．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)

A．80  B．77  C．81  D．82

答案　C

解析　∵x>0，y>0，∴≥，

即xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.

3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.

答案　25

解析　设矩形的一边为x m，面积为y m2，

则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中0<x<10，

∴y＝x(10－x)≤2＝25，

当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.

题组三　易错自纠

4．“x>0”是“x＋≥2成立”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

答案　C

解析　当x>0时，x＋≥2＝2.

因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条件，故选C.

5．若函数f (x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)

A．1＋  B．1＋  C．3  D．4

答案　C

解析　当x>2时，x－2>0，f (x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f (x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.

6．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

答案　D

解析　由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，

所以4x＋3y＝(4x＋3y)·

＝

≥(4＋9＋2)＝5，

当且仅当＝，即x＝，y＝1时，“＝”成立，

故4x＋3y的最小值为5.故选D.

7．若实数x，y满足x>y>0，且log2x＋log2y＝1，则＋的最小值是________，的最大值为________．

答案　2　

解析　实数x，y满足x>y>0，且log2x＋log2y＝1，则xy＝2，

则＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝2，y＝1时取等号，

故＋的最小值是2，

又x>y>0，x－y>0，

＝＝＝≤＝，当且仅当x－y＝，即x＝＋1，y＝－1时取等号，

故的最大值为.

利用基本不等式求最值

命题点1　配凑法

例1　(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．

答案　

解析　x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)

≤·2＝，

当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．

(2)已知x<，则f (x)＝4x－2＋的最大值为________．

答案　1

解析　因为x<，所以5－4x>0，

则f (x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号．

故f (x)＝4x－2＋的最大值为1.

(3)已知函数f (x)＝(x<－1)，则(　　)

A．f (x)有最小值4   B．f (x)有最小值－4

C．f (x)有最大值4   D．f (x)有最大值－4

答案　A

解析　f (x)＝＝

＝－＝－

＝－(x＋1)＋＋2.

因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，

所以f (x)≥2＋2＝4，

当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立．

故f (x)有最小值4.

命题点2　常数代换法

例2　若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为(　　)

A．3＋2   B．3＋

C．2＋2   D．3

答案　A

解析　因为2m＋n＝1，

则＋＝·(2m＋n)＝3＋＋

≥3＋2＝3＋2，

当且仅当n＝m，即m＝，n＝－1时等号成立，

所以＋的最小值为3＋2，故选A.

命题点3　消元法

例3　已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．

答案　6

解析　方法一　(换元消元法)

由已知得x＋3y＝9－xy，

因为x>0，y>0，

所以x＋3y≥2，

所以3xy≤2，

当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，

即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，

令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，

得t≥6，即x＋3y的最小值为6.

方法二　(代入消元法)

由x＋3y＋xy＝9，得x＝，

所以x＋3y＝＋3y＝

＝＝

＝3(1＋y)＋－6≥2－6

＝12－6＝6，

当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，

所以x＋3y的最小值为6.

思维升华　(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．

(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．

(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．

跟踪训练1　(1)(2019·天津)设x>0，y>0，x＋2y＝4，则的最小值为________．

答案　

解析　＝

＝＝2＋.

∵x>0，y>0且x＋2y＝4，

∴4≥2(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)，

∴2xy≤4，∴≥，

∴2＋≥2＋＝.

(2)(2020·天津模拟)已知a>0，b>0，c>0，若点P(a，b)在直线x＋y＋c＝2上，则＋的最小值为________．

答案　2＋2

解析　∵P(a，b)在x＋y＋c＝2上，

∴a＋b＋c＝2，a＋b＝2－c>0，

＋＝＋＝＋－1，

设则m＋n＝2，

＋＝＋＝×

＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，

当且仅当m2＝2n2，即c＝2－2时，等号成立，

∴＋－1≥3＋2－1＝2＋2，

即＋的最小值为2＋2.

基本不等式的综合应用

命题点1　基本不等式与其他知识交汇的最值问题

例4　设等差数列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．

答案　

解析　an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，

所以＝＝

≥＝，

当且仅当n＝4时取等号，所以的最小值是.

命题点2　求参数值或取值范围

例5　已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)

A．2  B．4  C．6  D．8

答案　B

解析　已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)的最小值大于或等于9，

∵1＋a＋＋≥a＋2＋1，

当且仅当y＝x时，等号成立，

∴a＋2＋1≥9，

∴≥2或≤－4(舍去)，∴a≥4，

即正实数a的最小值为4，故选B.

思维升华　求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．

跟踪训练2　(1)已知函数f (x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则的最小值是(　　)

A．10  B．9  C．8  D．3

答案　B

解析　 由函数f (x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，

由函数f (x)的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为2，

所以f′(1)＝2a＋b＝2，

所以＝＋＝(2a＋b)

＝≥

＝(10＋8)＝9，

当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，

所以的最小值为9，故选B.

(2)在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则＋的最小值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　由△ABC的面积为2，

所以S＝bcsin A＝bcsin ＝2，得bc＝8，

在△ABC中，由正弦定理得

＋＝＋

＝＋＝＋

＝＋－

≥2－＝2－＝，

当且仅当b＝2，c＝4时，等号成立，故选C.

基本不等式的实际应用

例6　(1)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是______．

答案　30

解析　一年的总运费为6×＝(万元)．

一年的总存储费用为4x万元．

总运费与总存储费用的和为万元．

因为＋4x≥2＝240，

当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，

所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．

(2)某人准备在一块占地面积为1 800 m2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1 m的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m2，其中a∶b＝1∶2，则S的最大值为________．

答案　1 568

解析　由题意可得xy＝1 800，b＝2a，x>3，y>3，

则y＝a＋b＋3＝3a＋3，

所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a

＝(3x－8)＝1 808－3x－y

＝1 808－3x－×

＝1 808－≤1 808－2

＝1 808－240＝1 568，

当且仅当3x＝，即x＝40，y＝45时等号成立，S取得最大值，

所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值为1 568.

思维升华　利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．

跟踪训练3　某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3，深度为3 m．如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为________ m.

答案　160

解析　设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为 m，

由题意可得水池总造价

f (x)＝150×＋120

＝240 000＋720(x>0)，

则f (x)＝720＋240 000

≥720×2＋240 000

＝720×2×40＋240 000＝297 600，

当且仅当x＝，即x＝40时，f (x)有最小值297 600，

此时另一边的长度为＝40(m)，

因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为160 m.