2021高考数学一轮复习学案：第二章2.3函数的奇偶性与周期性


§2.3　函数的奇偶性与周期性


1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数
关于原点对称

2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．
概念方法微思考
1．如果函数f (x)是奇函数或偶函数，则f (x)的定义域关于原点对称．
2．已知函数f (x)满足下列条件，你能否得到函数f (x)的周期？
(1)f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)．
(2)f (x＋a)＝(a≠0)．
(3)f (x＋a)＝f (x＋b)(a≠b)．
提示　(1)T＝2|a|；(2)T＝2|a|；(3)T＝|a－b|.
3．若f (x)对于定义域中任意x，均有f (x)＝f (2a－x)，或f (a＋x)＝f (a－x)，则函数f (x)关于直线x＝a对称．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　×　)
(2)如果函数f (x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f (x)＋g(x)是偶函数．(　√　)
(3)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)关于直线x＝a对称．(　√　)
(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　√　)

题组二　教材改编
2．下列函数中为奇函数的是________．(填序号)
①f (x)＝2x4＋3x2；
②f (x)＝x3－2x；
③f (x)＝；
④f (x)＝x3＋1.
答案　②③
3．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝x(1＋x)，则f (－1)＝________.
答案　－2
解析　f (1)＝1×2＝2，又f (x)为奇函数，
∴f (－1)＝－f (1)＝－2.
4.设奇函数f (x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f (x)的图象如图所示，则不等式f (x)