2021高考数学一轮复习学案：第二章2.4幂函数与二次函数

§2.4　幂函数与二次函数


1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
图象





性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1,1)

2.二次函数的图象和性质
解析式
f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f (x)＝ax2＋bx＋c(a0且Δ≤0.
3．函数y＝2x2是幂函数吗？
提示　不是．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是.(　×　)
(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　√　)
(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　)
(4)二次函数y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m≥－2.(　√　)

题组二　教材改编
2．已知幂函数f (x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)
A. B．1 C. D．2
答案　C
解析　由幂函数的定义，知
∴k＝1，α＝.∴k＋α＝.
3．已知函数f (x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
答案　D
解析　函数f (x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，
∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.
4．函数f (x)＝x2－2x＋3在闭区间[0,3]上的最大值为________．最小值为________．
答案　6　2
解析　f (x)＝(x－1)2＋2,0≤x≤3，
∴x＝1时，f (x)min＝2，x＝3时，f (x)max＝6.

题组三　易错自纠
5．幂函数f (x)＝(a∈Z)为偶函数，且f (x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　C
解析　因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
f (x)＝(a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以(a－5)2－20)，若f (m)”“
解析　f (x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m)　0，ac