2021高考数学一轮复习学案：第二章2.5指数与对数

§2.5　指数与对数1．根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果a＝xn，那么x叫做a的n次实数方根 n>1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数0的n次实数方根是0当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数±负数没有偶次方根 (2)两个重要公式①＝②()n＝a(注意a必须使有意义)．2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；②正数的负分数指数幂是＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质①asat＝as＋t(a>0，t，s∈Q)；②(as)t＝ast(a>0，t，s∈Q)；③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)．3．对数的概念(1)对数的定义①一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．②底数的对数是1，即logaa＝1,1的对数是0，即loga1＝0.(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)logaN 常用对数底数为10lg_N自然对数底数为eln_N 4．对数的性质与运算法则(1)对数的性质①＝N(a>0且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0且a≠1)．(2)对数的重要公式①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)；②logab＝(a，b均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④＝logaM.概念方法微思考根据对数的换底公式，(1)思考logab与logba的关系；(2)化简.提示　(1)logab·logba＝1；(2)＝logab.   题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)＝()n＝a(n∈N*)．(　×　)(2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　×　)(3)2a·2b＝2ab.(　×　)(4)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)(5)若lg x2＝1，则x＝.(　×　)题组二　教材改编2．计算：＋(－9.6)0－×2＝________.答案　3．计算：(lg 5)2＋lg 2×lg 50＝________.答案　14．已知lg 6＝a，lg 12＝b，那么用a，b表示lg 24＝________.答案　2b－a题组三　易错自纠5．计算：＋＝________.答案　26．下列各式：①＝a；②(a2－2a－3)0＝1；③＝；④log318－log32＝2.其中正确的是________．(填序号)答案　④解析　＝①错误；当a2－2a－3≠0时，(a2－2a－3)0＝1，②错误；＝－，＝＝，③错误；log318－log32＝log39＝2，④正确．  7．(多选)下列运算结果中，一定正确的是(　　)A．a3a4＝a7   B．(－a2)3＝a6C.＝a   D.＝－π答案　AD解析　a3a4＝a3＋4＝a7，故A正确；当a＝1时，显然不成立，故B不正确；＝|a|，故C不正确；＝－π，D正确． 指数幂的运算1.(a>0)的值是________．答案　解析　＝＝＝.2．计算2××＝________.答案　6解析　原式＝3.＝________.答案　解析　原式＝＝.4．若，则＝________.答案　解析　由，两边平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47.∴x2＋x－2－2＝45.＝＝3×(7－1)＝18.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 对数的运算1．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.答案　解析　由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝.2．计算：÷＝________.答案　－20解析　原式＝(lg 2－2－lg 52)×＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.3．计算：＝________.答案　1解析　原式＝＝＝＝＝＝1.4．(2019·北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)A．1010.1  B．10.1  C．lg 10.1  D．10－10.1答案　A解析　两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，令m2＝－1.45，m1＝－26.7，lg ＝·(m2－m1)＝(－1.45＋26.7)＝10.1，所以＝1010.1.思维升华 对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 指数与对数的综合运算例 (1)已知均不为1的正数a，b，c满足ax＝by＝cz，且＋＋＝0，求abc的值．解　令ax＝by＝cz＝k.由已知k>0且k≠1，于是xlg a＝ylg b＝zlg c＝lg k，故＝，＝，＝.因为＋＋＝0，所以＝0，即＝0.故lg(abc)＝0，得abc＝1.(2)设logaC，logbC是方程x2－3x＋1＝0的两根，求的值．解　由题意，得即于是有(logCa－logCb)2＝(logCa＋logCb)2－4logCa·logCb＝32－4＝5，故logCa－logCb＝±.于是＝－1＝＝±.思维升华 指数、对数的综合运算，要充分利用指数、对数的定义、运算性质、换底公式，建立已知条件和所求式子间的联系．跟踪训练 (1)(2019·南京模拟)若alog23＝1，blog35＝1，则9a＋5b＝________.答案　7解析　a＝log32，b＝log53，于是9a＋5b＝＝＋3＝4＋3＝7.(2)方程－＝3x－1的实数解为________．答案　x＝log32解析　原方程可化为2(3x)2＋5·3x－18＝0，即(3x－2)(2·3x＋9)＝0,3x＝2(2·3x＝－9舍去)，得x＝log32. (3)若log2log3x＝log3log2y＝log2log2z＝1，则x2，y3，z4从小到大的排列为________．答案　x2<z4<y3解析　由题设得log3x＝2，log2y＝3，log2z＝2，即x＝32，y＝23，z＝22，故x2＝34，y3＝29，z4＝28，所以x2<z4<y3.