2021高考数学一轮复习学案：第二章2.7对数函数


§2.7　对数函数


1．对数函数的定义
形如y＝logax(a>0，a≠1)的函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
2．对数函数的图象与性质

a>1
0 图象


性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是单调增函数
在(0，＋∞)上是单调减函数

3.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
概念方法微思考
如图给出4个对数函数的图象．比较a，b，c，d与1的大小关系．

提示　0
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)
(2)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　√　)
(3)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．(　√　)
(4)若am>an(a>0，a≠1)，则m>n.(　×　)
题组二　教材改编
2．已知a＝，b＝log2，c＝，则a，b，c的大小关系为________．
答案　c>a>b
解析　∵01.
∴c>a>b.
3．函数y＝的定义域是________．
答案　
解析　由≥0，得0<2x－1≤1.
∴ ∴函数y＝的定义域是.
题组三　易错自纠
4．函数f (x)＝log2(3－ax)在(－∞，1)上是减函数，则a的取值范围是________．
答案　(1,3]
解析　由已知可得解得1 5．函数f (x)＝log2(3x＋1)的值域为________．
答案　(0，＋∞)
解析　3x>0⇒3x＋1>1⇒log2(3x＋1)>log21＝0.
故f (x)的值域为(0，＋∞)．
6．若loga<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________________．
答案　∪(1，＋∞)
解析　当0 当a>1时，loga1.
∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞).

对数函数的图象及应用
例1 (1)(2020·南京模拟)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)

A．a>1，c>1 B．a>1,0 C．01 D．0 答案　D
解析　由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0 (2)方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为__________．
答案　
解析　若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，

由图象知解得0

4x 答案　
解析　当0
当a>1时，不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是.
思维升华 对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
跟踪训练1 (1)(2019·常州质检)函数f (x)＝lg(|x|－1)的大致图象是(　　)

答案　B
解析　由函数值域为R，可以排除C，D，当x>1时，f (x)＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，排除A，选B.
(2)已知函数f (x)＝且关于x的方程f (x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是____________．
答案　(1，＋∞)
解析　如图，在同一坐标系中分别作出y＝f (x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．

由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f (x)只有一个交点．
(3)若不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　只需f1(x)＝x2在上的图象恒在f2(x)＝logax图象的下方即可．
当a>1时，显然不成立；

当0 要使x2 只需f1≤f2，
所以有2≤loga，解得a≥，
所以≤a<1.
即实数a的取值范围是.
对数函数的性质及应用
命题点1　解对数方程、不等式
例2 (1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．
答案　x＝
解析　原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±，又x>1，所以x＝.
(2)设f (x)＝则方程f (a)＝f (－a)的解集为________．
答案　{－1,1}
解析　当a>0时，由f (a)＝log2a＝＝f (－a)＝，得a＝1；
当a<0时，由f (a)＝＝log2＝f (－a)＝log2(－a)，得a＝－1.
∴方程f (a)＝f (－a)的解集为{1，－1}．
本例(2)中，f (a)>f (－a)的解集为________．
答案　(－1,0)∪(1，＋∞)
解析　由题意，得
或
解得a>1或－1 命题点2　对数函数性质的综合应用
例3 已知函数f (x)＝
(1)若f (－1)＝－3，求f (x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f (x)在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．
解　(1)由f (－1)＝－3，得＝－3.
所以4＋2a＝8，所以a＝2.
则f (x)＝
由x2－4x＋3>0，得x>3或x<1.
故函数f (x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
令μ＝x2－4x＋3，
则μ在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．
又y＝在(0，＋∞)上单调递减，
所以f (x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．
(2)令g(x)＝x2－2ax＋3，要使f (x)在(－∞，2)上为增函数，应使g(x)在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.
因此即a无解．
所以不存在实数a，使f (x)在(－∞，2)上为增函数．
思维升华 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
跟踪训练2 (1)若f (x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　)
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案　A
解析　令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
(2)已知函数f (x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f (x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．
答案　
解析　当a>1时，f (x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f (x)>1在区间[1,2]上恒成立，
则f (x)min＝f (2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，
解得1 当0 由f (x)>1在区间[1,2]上恒成立，
知f (x)min＝f (1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴a>4，且a<4，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是.
比较指数式、对数式的大小
例4 (1)设a＝log3e，b＝e1.5，c＝，则(　　)
A．b C．c 答案　D
解析　c＝＝log34>log3e＝a.
又c＝log342，
∴a (2)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．a＋b C．a＋b<0 答案　B
解析　∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，
b＝log20.3 ∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，
∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0，
∴0<<1，∴ab (3)已知函数f (x)是R上的偶函数，当x1，x2∈(0，＋∞)时，有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0.设a＝ln ，b＝(ln π)2，c＝ln ，则f (a)，f (b)，f (c)的大小关系为________．
答案　f (c)>f (a)>f (b)
解析　由题意可知f (x)在(0，＋∞)上是减函数，且f (a)＝f (|a|)，f (b)＝f (|b|)，f (c)＝f (|c|)，
又|a|＝ln π>1，|b|＝(ln π)2>|a|，|c|＝ln π<|a|，
故|b|>|a|>|c|，所以f (|c|)>f (|a|)>f (|b|)，
即f (c)>f (a)>f (b)．
(4)已知函数y＝f (x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝|log2x|，若a＝f (－3)，b＝f ，c＝f (2)，则a，b，c的大小关系是________．
答案　c 解析　易知y＝f (x)是偶函数．当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝f ＝|log2x|，且当x∈[1，＋∞)时，f (x)＝log2x单调递增，又a＝f (－3)＝f (3)，b＝f ＝f (4)，所以c 思维升华 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．
(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
跟踪训练3 (1)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＝bc
C．ab>c
答案　B
解析　因为a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log32c.
(2)已知函数f (x)＝|x|，且a＝f ，b＝f ，c＝f (2－1)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a C．c 答案　A
解析　ln，
∴log23>>ln.
又f (x)是偶函数，在(0，＋∞)上为增函数，
∴f  ∴a (3)若实数a，b，c满足loga2 A．a C．c 答案　C
解析　根据不等式的性质和对数的换底公式可得
<<<0，
即log2c 可得c