2021高考数学一轮复习学案：第三章3.2导数与函数的单调性


§3.2　导数与函数的单调性


函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导
f′(x)>0
f (x)在(a，b)内单调递增
f′(x)0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？
提示　不正确，正确的说法是：
可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任一非空子区间内都不恒为零．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f (x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f (x)在此区间内没有单调性．(　√　)
(2)如果函数f (x)在某个区间内恒有f′(x)≥0，则f (x)在此区间内单调递增．(　×　)
(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f (x)在(a，b)内是减函数．(　√　)
题组二　教材改编
2.如图是函数y＝f (x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)

A．在区间(－2,1)上f (x)是增函数
B．在区间(1,3)上f (x)是减函数
C．在区间(4,5)上f (x)是增函数
D．在区间(3,5)上f (x)是增函数
答案　C
解析　在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f (x)是增函数．
3．函数f (x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　)
A．先增后减 B．先减后增
C．增函数 D．减函数
答案　D
解析　因为在(0，π)上恒有f′(x)＝－sin x－10，解得x>0，故其单调递增区间是(0，＋∞)；由f′(x)0，∴02，故选D.
3．函数f (x)＝x＋2的单调递增区间是__________；单调递减区间是__________．
答案　(－∞，0)　(0,1)
解析　f (x)的定义域为{x|x≤1}，
f′(x)＝1－.令f′(x)＝0，得x＝0.
当0f (1)>f 
D．f >f >f (1)
答案　A
解析　因为f (x)＝xsin x，所以f (－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f (x)，所以函数f (x)是偶函数，所以f ＝f .又当x∈时，f′(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函数f (x)在上是增函数，所以f f ，故选A.
(2)已知定义域为R的偶函数f (x)的导函数为f′(x)，当x