2021高考数学一轮复习学案：第五章5.2平面向量基本定理及坐标表示

§5.2　平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示(1)向量及向量的模的坐标表示①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.(2)平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示　不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示　不一定．两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．3．已知三点A，B，C共线，O是平面内任一点，若＝x＋y，写出x，y的关系式．提示　x＋y＝1.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(　×　)(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　×　)(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　√　)题组二　教材改编2．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．答案　(1,5)解析　设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即解得3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.答案　－解析　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得＝，所以＝－.4．(多选)如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是(　　)A.＝3   B.＝－2C.＋＝0   D.＝答案　ABC题组三　易错自纠5．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________.答案　06．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________.答案　(－7，－4)解析　根据题意得＝(3,1)，∴＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．7．(2019·聊城模拟)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)，若b∥c，则x的值为(　　)A．4  B．－4  C．2  D．－2答案　B解析　b＝2a＋b－2a＝(2,1)，∵b∥c，∴x＋4＝0，∴x＝－4.故选B. 平面向量基本定理的应用例1　如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.(1)用a和b表示向量，；(2)若＝λ，求实数λ的值．解　(1)由题意知，A是BC的中点，且＝，由平行四边形法则，得＋＝2，所以＝2－＝2a－b，＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.(2)由题意知，∥，故设＝x.因为＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b.所以(2－λ)a－b＝x.因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得解得故λ＝. 思维升华　应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用．跟踪训练1　在△ABC中，点P是AB上一点，且＝2，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为________．答案　解析　＝2，即P为AB的一个三等分点，如图所示．∵A，M，Q三点共线，∴＝x＋(1－x)＝＋(x－1)，而＝－，∴＝＋.又＝＋＝－＋，由已知＝t，可得＋＝t，又，不共线，∴解得t＝. 平面向量的坐标运算例2　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标．解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴解得(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．本例中条件不变，如何利用向量求线段AB中点的坐标？解　设O为坐标原点，P(x，y)是线段AB的中点，则＝(＋)，即(x，y)＝[(－2,4)＋(3，－1)]＝，所以线段AB中点的坐标为.本例中条件不变，如何利用向量求△ABC的重心G的坐标？解　设AB的中点为P，O为坐标原点，因为＝，所以＝＋＝＋(＋)，所以＝(＋＋)＝[(－2,4)＋(3，－1)＋(－3，－4)]＝，所以重心G的坐标为.思维升华　平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．跟踪训练2　(1)(2019·大连模拟)已知＝(1，－1)，C(0,1)，若＝2，则点D的坐标为(　　)A．(－2,3)   B．(2，－3)C．(－2,1)   D．(2，－1)答案　D解析　设D(x，y)，则＝(x，y－1)，2＝(2，－2)，根据＝2，得(x，y－1)＝(2，－2)，即解得故选D.(2)(2019·河北省级示范高中联考)在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(－2,0)，＝(2，－3)，则点D的坐标为(　　)A．(6,1)   B．(－6，－1)C．(0，－3)   D．(0,3)答案　A解析　＝(－3，－2)，∴＝＝－＝(5，－1)，则D(6,1)，故选A. 向量共线的坐标表示命题点1　利用向量共线求参数例3　(1)(2019·内江模拟)设向量a＝(x,1)，b＝(4,2)，且a∥b，则实数x的值是________．答案　2解析　∵a＝(x,1)，b＝(4,2)，且a∥b，∴2x＝4，即x＝2.(2)(2020·海南省文昌中学模拟)已知a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________.答案　－6解析　由题意得a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由(a＋2b)∥(3a－b)，得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.命题点2　利用向量共线求向量或点的坐标例4　已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为_____．答案　(3,3)解析　方法一　由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．又＝－＝(－2,6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．方法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，即x＝y.又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3)．思维升华　平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．跟踪训练3　(1)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是(　　)A．－  B．－  C.  D.答案　A解析　＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.(2)(2019·江西省红色七校联考)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且a∥b，则3a＋2b＝________.答案　(1，－2)解析　∵a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且a∥b，∴－1×y－2×2＝0，解得y＝－4，故可得3a＋2b＝3(－1,2)＋2(2，－4)＝(1，－2)．