2021高考数学一轮复习学案：第五章5.3平面向量的数量积

§5.3　平面向量的数量积1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b.3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论符号表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角的余弦cos θ＝cos θ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤ 概念方法微思考两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示　不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是.(　×　)(2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)(3)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)(4)若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　×　)题组二　教材改编2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.答案　12解析　∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ＝________.答案　解析　cos θ＝＝＝－，又因为0≤θ≤π，所以θ＝.题组三　易错自纠4．已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案　B解析　根据向量数量积的定义可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.5．已知矩形ABCD中，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)A．20  B．15  C．9  D．6答案　C解析　因为ABCD为矩形，建系如图．A(0,0)，M(6,3)，N(4,4)．则＝(6,3)，＝(2，－1)，·＝6×2－3×1＝9. 6．(多选)在△ABC中，＝c，＝a，＝b，在下列命题中，是真命题的为(　　)A．若a·b>0，则△ABC为锐角三角形B．若a·b＝0，则△ABC为直角三角形C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形D．若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则△ABC为直角三角形答案　BCD解析　①若a·b>0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误；②若a·b＝0，则⊥，△ABC为直角三角形，B正确；③若a·b＝c·b，b·(a－c)＝0，·(－)＝0，·(＋)＝0，取AC的中点D，则·＝0，所以BA＝BC，即△ABC为等腰三角形，C正确；④若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则a2＝(c－b)2，即b2＋c2－a2＝2b·c，即＝－cos A，由余弦定理可得cos A＝－cos A，即cos A＝0，即A＝，即△ABC为直角三角形，D正确，综上真命题为BCD.7．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.答案　2解析　方法一　|a＋2b|＝＝＝＝＝2.方法二　(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.    平面向量数量积的基本运算例1　如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.答案　12解析　方法一　(几何法)因为·＝2·，所以·－·＝·，所以·＝·，因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2||＝||·||cos ，化简得||＝2.故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos ＝12.方法二　(坐标法)如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中m>0，n>0，则由·＝2·，得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.思维升华　平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解．跟踪训练1　(1)在正三角形ABC中，D是BC上的点，若AB＝3，BD＝1，则·＝________.答案　解析　如图所示，·＝·(＋)＝9＋3×cos 120°＝.(2)已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足＝2，则·等于(　　)A．－  B.  C．－  D.答案　D解析　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，又＝2，∴Q，∴＝，＝，∴·＝＋1＝.故选D. 平面向量数量积的应用命题点1　求向量的模例2　(1)(2020·遵义统考)已知两个单位向量a和b的夹角为120°，k∈R，则|ka＋b|的最小值为(　　)A.  B.  C．1  D.答案　B解析　|ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2因为a和b是单位向量，且夹角为120°，所以|ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2＝k2|a|2＋2k|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝k2－k＋1＝2＋≥，所以|ka＋b|≥，所以|ka＋b|的最小值为.(2)(2020·四川双流中学诊断)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________.答案　解析　∵M为BC的中点，∴＝(＋)，∴||2＝(＋)2＝(||2＋||2＋2·)＝(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝，∴||＝.命题点2　求向量的夹角例3　(1)(2020·昆明一中检测)已知向量a＝，|b|＝2，且a·b＝1，则a与b的夹角为(　　)A．30°  B．45°  C．60°  D．90°答案　C解析　|a|＝＝1，∴cos〈a，b〉＝＝，∴a与b的夹角为60°.(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．答案　解析　由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，|e1－e2|＝＝＝＝2.同理|e1＋λe2|＝.所以cos 60°＝＝＝＝，解得λ＝.思维升华　(1)求解平面向量模的方法①利用公式|a|＝.②利用|a|＝.(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]．②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．跟踪训练2　(1)(2019·江西省临川一中模拟)已知向量a＝(3,4)，b＝(－1，k)，且a⊥b，则a＋4b与a的夹角为________．答案　解析　因为a⊥b，故a·b＝0，所以－3＋4k＝0，故k＝，故a＋4b＝(－1,7)，设a＋4b与a的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，因θ∈[0，π]，故θ＝.(2)(2019·日照模拟) 已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝2，〈a，b〉＝，(c－a)·(c－b)＝－1，则|c－a|的最大值为________．答案　＋1解析　设＝a，＝b，＝c，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，∵|a|＝4，|b|＝2，a与b的夹角为，则A(4,0)，B(2,2)，设C(x，y)，∵(c－a)·(c－b)＝－1，∴x2＋y2－6x－2y＋9＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝1，∴点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，|c－a|表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离，∵圆心到A的距离为，∴|c－a|的最大值为＋1. 平面向量与三角函数、解三角形例4　(2019·石家庄模拟)已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，f (x)＝a·b.(1)求函数f (x)＝a·b的最小正周期；(2)在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若f (A)＝1，求△ABC的周长．解　(1)f (x)＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋，f (x)＝sin＋，所以f (x)的最小正周期T＝＝π.(2)由题意可得sin＝，又0<A<π，所以<2A＋<，所以2A＋＝，故A＝.设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a2＝b2＋c2－2bccos A.所以a2＝b2＋c2－bc＝7，又sin B＝3sin C，所以b＝3c.故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1.所以b＝3，△ABC的周长为4＋.思维升华　平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．跟踪训练3　在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.(1)求∠C的大小；(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．解　(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，在△ABC中，由正弦定理得，sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，sin A＝2sin Acos C，又sin A≠0，所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.(2)由＝知，－＝－，所以2＝＋，两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，所以a2＋b2－ab＝12.②由①②得ab＝8，所以S△ABC＝absin∠ACB＝2.