2021高考数学一轮复习学案：第五章微专题四向量中数量积的最值

微专题四　向量中数量积的最值[经验分享]在平面向量的问题中，存在一种“以平面图形为载体的有关数量积的最大值问题”，通过对该类问题的多解探究，进一步提高分析、解决此类问题的能力．题目　如图1，已知AC＝2，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点(不含端点A，B，C)，且BM⊥BN，则·的最大值为________．答案　解析　方法一　由题设可知AB＝BC＝BN＝1.因为点M在以AB为直径的半圆上，所以AM⊥BM，又BM⊥BN，所以AM∥BN，若设∠MAB＝θ，则∠NBC＝θ.如图2，建立平面直角坐标系xBy，则点A(－1,0)，M(－sin2θ，sin θcos θ)，C(1,0)，N(cos θ，sin θ)，所以＝(－sin2θ＋1，sin θcos θ)＝(cos2θ，sin θcos θ)，＝(cos θ－1，sin θ)．于是，·＝cos2θ·(cos θ－1)＋sin2θcos θ＝cos3θ－cos2θ＋(1－cos2θ)cos θ＝－cos2θ＋cos θ＝－2.又易知0<θ<，所以，当θ＝时，可得·的最大值为.评注　上述求解过程的切入点是引入辅助角θ，准确写出点M，N的坐标，以便灵活利用平面向量的坐标运算加以求解．方法二　如方法一中图2，建立平面直角坐标系xBy，设直线BN的方程为y＝kx(k>0)，则因为BM⊥BN，所以直线BM的方程为y＝－x.注意到点N是直线BN与以AC为直径的半圆的交点，所以将y＝kx与x2＋y2＝1联立，可求得点N的坐标为.注意到点M是直线BM与以AB为直径的半圆的交点，所以将y＝－x与2＋y2＝联立，可求得点M的坐标为.又A(－1,0)，C(1,0)，所以向量＝，＝，所以·＝＋·＝＝－＝－2，故当＝，即k＝时，可得·的最大值为.评注　上述求解过程的关键是引入参数k(直线BN的斜率)，并借助直线和圆的方程，灵活求解点M，N的坐标，整个求解过程显然比方法一增加了许多运算量．方法三　由题设可知AB＝BC＝BN＝1，因为点M在以AB为直径的半圆上，所以AM⊥BM，又BM⊥BN，所以AM∥BN，所以·＝||×1×cos 0°＝||.因为AM⊥BM，AB＝1，所以||＝1×cos∠MAB＝cos∠MAB，所以·＝·＝||×1×cos∠MAB＝||2.于是，·＝·(－)＝·－·＝||－||2＝－2.又0<||<1，所以，当||＝时，可得·的最大值为.评注　上述求解过程的关键是充分利用平面向量的数量积公式a·b＝|a|·|b|cos θ，将目标问题等价转化为求解关于“||”的二次函数在区间(0,1)上的最大值．方法四　如图3，分别延长AM，CN，设其交点为E，并设ME与大半圆的交点为D，连结CD，则易知AM⊥MB，AD⊥DC，所以BM∥CD，又B为AC的中点，图3所以M为AD的中点，所以＝.又易知∥，且B为AC的中点，所以N为CE的中点，所以＝.于是，·＝·＝·(＋)＝·＋·＝0＋||·||cos 0°＝||·||.因为BN为△ACE的中位线，所以||＋||＝||＝2||＝2.从而，·＝||·||≤2＝×2＝，当且仅当||＝||，即D为AE的中点时不等式取等号．故所求·的最大值为.评注　上述求解过程的关键是巧作辅助线，充分利用相关平面几何知识，先获得＝和＝，然后再综合利用向量的几何意义、数量积运算、三角形中位线性质定理以及基本不等式的变形式“ab≤2”加以灵活求解．方法五　如图4，以BC为直径画半圆，交BN于点D，连结CD，则BD⊥CD.又易知AM∥BD，且AM＝BD，图4所以·＝·(＋)＝·＋·＝0＋||·||cos 0°＝||·||≤2＝2＝，当且仅当||＝||，即D为BN中点时不等式取等号．故所求·的最大值为.评注　上述求解过程的关键是巧作“半圆”，先将目标问题等价转化为求||·||的最大值，再灵活利用基本不等式的变形巧求最大值．显然，该解法最简单，故值得我们细细品味、深思！综上，不同的思维切入点，往往可获得不同的解题体验，真可谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，需要我们在学中“悟”，在“悟”中不断提升解题技巧．