2021高考数学一轮复习学案：第七章7.4空间几何体及其表面积、体积

§7.4　空间几何体及其表面积、体积

1．多面体的结构特征

2.旋转体的结构特征

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

4.柱、锥、台、球的表面积和体积

概念方法微思考

1．如何求旋转体的表面积？

提示　求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和．

2．如何求不规则几何体的体积？

提示　求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　×　)

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　×　)

(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．(　√　)

(4)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　×　)

题组二　教材改编

2．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)

A．1 cm  B．2 cm  C．3 cm  D. cm

答案　B

解析　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，

∴r2＝4，∴r＝2.

3．在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)

答案　③⑤

题组三　易错自纠

4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)

A．12π  B.π  C．8π  D．4π

答案　A

解析　由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.

5.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．

答案　1∶47

解析　设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47.

6．Rt△ABC的三个顶点都在球O的球面上，AB＝AC＝2，若球心O到平面ABC的距离为1，则球O的半径为________，球O的表面积为________．

答案　　12π

解析　Rt△ABC中，斜边BC＝2，∴△ABC所在截面圆半径r＝，又O到平面ABC的距离为1，可得球O的半径R＝＝，故球O的表面积为12π.

空间几何体的结构特征

1．(多选)以下命题，不正确的有(　　)

A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台

C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面

D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台

答案　ABD

解析　由圆锥、圆台、圆柱的定义可知A，B错误，C正确．对于命题D，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，D不正确．

2．给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；

②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；

④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．

其中不正确的命题为________．(填序号)

答案　①②③

解析　对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；对于④，可知侧棱垂直于底面，故④正确．

综上，命题①②③不正确．

思维升华 空间几何体概念辨析题的常用方法

(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定．

(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析．

空间几何体的表面积与体积

命题点1　空间几何体的表面积

例1　(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)

A．12π   B．12π

C．8π   D．10π

答案　B

解析　设圆柱的轴截面的边长为x，

则由x2＝8，得x＝2，

∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×()2＋2π××2＝12π.故选B.

命题点2　求简单几何体的体积

例2　(1)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(　　)

A．3      B.      C．1      D.

答案　C

解析　如题图，

因为△ABC是正三角形，

且D为BC中点，则AD⊥BC.

又因为BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，

故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，

所以AD⊥平面BCC1B1，

所以AD是三棱锥A－B1DC1的高．

所以＝·AD＝××＝1.

(2)母线长为1的圆锥，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积为________．

答案　π

解析　设圆锥底面圆的半径为r，高为h，圆锥的侧面积S＝πrl＝，解得r＝，从圆锥的轴截面图中可得h＝，所以圆锥的体积 V＝πr2h＝π××＝π.

思维升华　空间几何体表面积、体积的求法

(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．

(3)体积可用公式法、转换法、分割法、补形法等求解．

跟踪训练1　如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是______．

答案　

解析　

＝＝××＝.

与球有关的切、接问题

例3　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)

A.  B．2  C.  D．3

答案　C

解析　如图所示，由球心作平面ABC的垂线，

则垂足为BC的中点M.

又AM＝BC＝，

OM＝AA1＝6，

所以球O的半径R＝OA＝＝.

本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？

解　依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为3×＝6，高为＝3，

因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.

此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？

解　正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4×·a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.

思维升华　“切”“接”问题的处理规律

(1)“切”的处理

首先要找准切点，通过作过球心的截面来解决．

(2)“接”的处理

抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．

跟踪训练2　(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为(　　)

A．12  B．18  C．24  D．54

答案　B

解析　由等边△ABC的面积为9，可得AB2＝9，

所以AB＝6，

所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2.

设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2.

所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4＝6，

所以三棱锥D－ABC体积的最大值为×9×6＝18.