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    2021高考数学一轮复习学案:第七章微专题六立体几何中的实际应用问题
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    2021高考数学一轮复习学案:第七章微专题六立体几何中的实际应用问题

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    微专题六 立体几何中的实际应用问题

    1 (2019·南通、泰州模拟)如图铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知正六棱柱的底面边长高都为4 cm圆柱的底面积为9 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm的正三棱柱零件则该正三棱柱的底面边长为________ cm.(不计损耗)

    答案 2

    解析 由题意知,铜质六角螺帽毛坯的体积V×460(cm3)

    设正三棱柱的底面边长为a cm

    ×a2×sin 60°×660

    解得a2,所以正三棱柱的底面边长为2 cm.

    2 如图一个倒圆锥形容器它的轴截面是正三角形在容器内放一个半径为r的铁球并向容器内注水使水面恰好与铁球面相切将球取出后容器内的水深是多少

     铁球取出后,容器内水的体积不变,设球被取出后容器内水深为h

    ∵△ABC为正三角形,OABC的中心,

    AO13OM3r,注水后圆锥的底面半径O1C×3rr

    球取出后的水深为h,则此时圆锥底面半径为h.

    球的体积与球被取出后圆锥的体积之和等于注水后圆锥的体积,

    ·2·h(r)2·3r

    解得hr.

    球取出后,容器内的水深为r.

     

     

    3 现需要设计一个仓库它由上下两部分组成上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO14

    (1)AB6 mPO12 m则仓库的容积是多少

    (2)若正四棱锥的侧棱长为6 m则当PO1为多少时仓库的容积最大

     (1)PO12知,O1O4PO18.

    因为A1B1AB6

    所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积

    V·A1B·PO1×62×224(m3)

    正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积

    VAB2·O1O62×8288(m3)

    所以仓库的容积VVV24288312(m3)

    (2)A1B1a mPO1h m

    0<h<6O1O4h.连结O1B1.

    因为在RtPO1B1中,O1BPOPB

    所以2h236,即a22(36h2)

    于是仓库的容积

    VVVa2·4ha2·ha2h

    (36hh3)0<h<6

    从而V(363h2)26(12h2)

    V0,得h2h=-2()

    0<h<2时,V>0V是单调增函数;

    2<h<6时,V<0V是单调减函数

    故当h2时,V取得极大值,也是最大值

    因此,当PO12 m时,仓库的容积最大

     

     

    跟踪训练 (1)某农场拟建一座如图所示的粮仓该粮仓由上下两部分组成上部分是底面半径为r m高为 m的无底圆锥下部分是底面半径为r m高为h m的无盖圆柱设圆柱侧面和底面的建造成本分别为100 /m2160 /m2圆锥侧面的建造成本是72 /m2该粮仓的总建造成本为27 000π(π为圆周率)记该粮仓下部分(圆柱)的体积为V m3.

    试将V表示成r的函数V(r)并求其定义域

    r为何值时该粮仓下部分(圆柱)的体积最大

     设圆锥的母线长为l,则l.

    该粮仓上部分的建造成本为

    72×l×r72×××r90πr2()

    下部分的建造成本为

    160×πr2100×r×h(160πr2200πrh)()

    由于该粮仓的总建造成本为27 000π 元,

    所以90πr2160πr2200πrh27 000π

    5r24rh540,所以h

    V(r)πr2hπr2×.

    r>0h>0,得0<r<6

    所以V(r),其定义域为{r|0<r<6}

    因为V(r)0<r<6

    所以V(r).

    V(r)0,解得r±6

    0<r<6,所以r6.

    0<r<6时,V(r)>0,所以V(r)(0,6)上单调递增;

    6<r<6时,V(r)<0

    所以V(r)(6,6)上单调递减

    因此当r6时,V(r)取得最大值,

    故当r6时,该粮仓下部分(圆柱)的体积最大

    (2)(2019·南京、盐城模拟)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计)一边AB长为6分米另一边足够长现从中截取矩形ABCD(如图甲所示)再剪去图中阴影部分用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示重叠部分忽略不计)其中OEMF是以O为圆心EOF120°的扇形且弧分别与边BCAD相切于点MN.

    BE长为1分米时求折卷成的包装盒的容积

    BE的长是多少分米时折卷成的包装盒的容积最大

     在图甲中,连结MOEF于点T.

    OEOFOMR

    RtOET中,

    因为EOTEOF60°

    所以OT,则MTOMOT.

    从而BEMT,即R2BE2.

    故所得柱体的底面积SS扇形OEFSOEF

    πR2R2sin 120°.

    又所得柱体的高EG4,所以VS×EG4.

    所以当BE长为1分米时,折卷成的包装盒的容积为立方分米

    BEx,则R2x

    所以所得柱体的底面积SS扇形OEFSOEFπR2R2sin 120°x2.

    又所得柱体的高EG62x

    所以VS×EG(x33x2),其中0<x<3.

    f (x)=-x33x2x(0,3)

    则由f(x)=-3x26x=-3x(x2)0,解得x2.

    x变化时,f(x)f (x)的变化情况如表所示:

    x

    (0,2)

    2

    (2,3)

    f(x)

    0

    f (x)

    极大值

     

    所以当x2时,f (x)取得极大值,也是最大值.

    所以当BE的长为2分米时,折卷成的包装盒的容积最大.

     

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