2021高考数学一轮复习学案：第八章8.2两条直线的位置关系

§8.2　两条直线的位置关系

1．两条直线的位置关系

(1)两条直线平行与垂直

①两条直线平行：

(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.

(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.

②两条直线垂直：

(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，

则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.

(2)两条直线的交点

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．

2．几种距离

(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离

P1P2＝.

(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离

d＝.

(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.

概念方法微思考

1．若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？

提示　当两条直线l1与l2的斜率都存在时，＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l1与l2也垂直．

2．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？

提示　(1)将方程化为最简的一般形式．

(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　×　)

(2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　√　)

(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　×　)

(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　√　)

题组二　教材改编

2．已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)

A.  B．2－  C.－1  D.＋1

答案　C

解析　由题意得＝1.

解得a＝－1＋或a＝－1－.

∵a>0，∴a＝－1＋.

3．已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.

答案　1

解析　由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，

所以m＝1.

4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．

答案　－9

解析　由得

所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，

即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.

题组三　易错自纠

5．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于(　　)

A．2   B．－3

C．2或－3   D．－2或－3

答案　C

解析　直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.故选C.

6．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是______．

答案　

解析　先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，

则两平行线间的距离为d＝＝.

7．两点A(a＋2，b＋2)，B(b－a，－b)关于直线4x＋3y＝11对称，则a＝________，b＝________.

答案　4　2

解析　由题意可知，A，B所在直线与直线4x＋3y＝11垂直，且线段AB的中点在直线4x＋3y＝11上，则有

解得

两条直线的平行与垂直

例1　(2019·包头模拟)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　)

A．－1   B．2

C．0或－2   D．－1或2

答案　D

解析　方法一　∵直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在．

又∵l1∥l2，∴＝－，

∴a＝－1或a＝2，又两条直线在y轴上的截距不相等．

∴a＝－1或a＝2时满足两条直线平行．

方法二　由A1B2－A2B1＝0得，(a－1)a－1×2＝0，

解得a＝－1或a＝2.

由A1C2－A2C1≠0，得(a－1)×3－1×1≠0.

所以a＝－1或a＝2.

本例中，若l1⊥l2，则a＝________.

答案　

解析　方法一　×＝－1，

解得a＝.

方法二　由A1A2＋B1B2＝0得(a－1)×1＋2a＝0.

解得a＝.

思维升华　(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．

(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．

跟踪训练1　(1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为(　　)

A．－   B．0

C．－或0   D．2

答案　C

解析　若a≠0，则由l1∥l2⇒＝，故2a＋2＝－1，即a＝－；若a＝0，l1∥l2，故选C.

(2)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则a＝________.

答案　

解析　由A1A2＋B1B2＝0得a＋2(a－1)＝0，

解得a＝.

两直线的交点与距离问题

1．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．

答案　

解析　由方程组

解得

(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)

∴交点坐标为.

又∵交点位于第一象限，∴

解得－<k<.

2．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则PQ的最小值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以PQ的最小值为.

思维升华　(1)求过两直线交点的直线方程的方法

先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．

(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．

对称问题

命题点1　点关于点中心对称

例2　过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．

答案　x＋4y－4＝0

解析　设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.

命题点2　点关于直线对称

例3　已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．

答案　6x－y－6＝0

解析　设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，

所以

解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，

所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.

命题点3　直线关于直线的对称问题

例4　直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是______________．

答案　x－2y＋3＝0

解析　设所求直线上任意一点P(x，y)，

则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，

由得

∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，

∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，

即x－2y＋3＝0.

思维升华　解决对称问题的方法

(1)中心对称

①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．

(2)轴对称

①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．

跟踪训练2　(1)坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　设对称点的坐标为(x0，y0)，

则

解得即所求点的坐标是.

(2)(2020·宝鸡模拟)光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有(　　)

A．a＝，b＝6   B．a＝－3，b＝

C．a＝3，b＝－   D．a＝－，b＝－6

答案　D

解析　由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，

所以直线y＝ax＋2上的点(0,2)关于直线y＝－x的对称点(－2,0)在直线y＝－3x＋b上，

所以(－3)×(－2)＋b＝0，所以b＝－6，

所以直线y＝－3x－6上的点(0，－6)关于直线y＝－x的对称点(6,0)在直线y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，

所以a＝－.

(3)直线l：x－y－2＝0关于直线3x－y＋3＝0对称的直线方程是__________________．

答案　7x＋y＋22＝0

解析　由得

∴两直线的交点为M，该点也在所求直线上，

在l上任取一点P(0，－2)，

设它关于直线3x－y＋3＝0的对称点为Q(x0，y0)，

则有

解得∴Q(－3，－1)且在所求直线上．

∴kMQ＝＝－7，

∴所求直线方程为y＋1＝－7(x＋3)，即7x＋y＋22＝0.

在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系．

一、平行直线系

例1　求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．

解题方法　因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)．

解　由题意，可设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，

又因为直线l过点(1,2)，

所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.

因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.

二、垂直直线系

例2　求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．

解题方法　依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解．

解　因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2,1)，

所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，

即所求直线方程为x－2y＝0.

三、过直线交点的直线系

例3　经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于3x＋4y－7＝0的直线方程为________．

解题方法　可分别求出直线l1与l2的交点及所求直线的斜率k，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；还可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．

答案　4x－3y＋9＝0

解析　方法一　由方程组

解得

即两直线的交点坐标为，

∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，

∴所求直线的斜率为k＝.

由点斜式得所求直线方程为y－＝，

即4x－3y＋9＝0.

方法二　由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，

由方程组可解得两直线交点坐标为，代入4x－3y＋m＝0，得m＝9，

故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.

方法三　由题意可设所求直线方程为

(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，

即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①

又∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，

∴3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，

∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.