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    2021高考数学一轮复习学案:第八章8.3圆的方程

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    §8.3 圆的方程圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准(xa)2(yb)2r2(r>0)圆心为(ab)半径为rx2y2DxEyF0充要条件:D2E24F>0圆心坐标:半径r 概念方法微思考1二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的条件是什么提示 2点与圆的位置关系有几种如何判断提示 点和圆的位置关系有三种已知圆的标准方程(xa)2(yb)2r2M(x0y0)(1)点在圆上(x0a)2(y0b)2r2(2)点在圆外(x0a)2(y0b)2>r2(3)点在圆内(x0a)2(y0b)2<r2.题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径(  )(2)已知点A(x1y1)B(x2y2)则以AB为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.(  )(3)若点M(x0y0)在圆x2y2DxEyF0xyDx0Ey0F>0.(  )(4)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(ab)半径为t的圆( × )题组二 教材改编2圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(  )A(x1)2(y1)21   B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22   D(x1)2(y1)22答案 D解析 因为圆心为(1,1)且过原点,所以该圆的半径r,则该圆的方程为(x1)2(y1)22.3以点(3,-1)为圆心并且与直线3x4y0相切的圆的方程是(  )A(x3)2(y1)21B(x3)2(y1)21C(x3)2(y1)21D(x3)2(y1)21答案 A4C的圆心在x轴上并且过点A(1,1)B(1,3)则圆C的方程为______________答案 (x2)2y210解析 设圆心坐标为C(a,0)A(1,1)B(1,3)在圆C上,CACB,解得a2圆心为C(2,0)半径CAC的方程为(x2)2y210.题组三 易错自纠5若方程x2y2mx2y30表示圆m的取值范围是(  )A(,-)(,+)B(,-2)(2,+)C(,-)(,+)D(,-2)(2,+)答案 B解析 x2y2mx2y30化为圆的标准方程得2(y1)22.由其表示圆可得2>0,解得m<2m>2. 6半径为3圆心的纵横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为_____________答案 (x3)2(y3)29(x3)2(y3)29解析 由题意知圆心坐标为(3,3)(3,-3),故所求圆的方程为(x3)2(y3)29(x3)2(y3)29.7已知实数xy满足方程x2y22x4y0x2y的最大值是________最小值是________答案 10 0解析 原方程可化为(x1)2(y2)25,表示以(1,-2)为圆心,为半径的圆x2yb,即x2yb0,作出圆(x1)2(y2)25与一组平行线x2yb0,如图所示,当直线x2yb0与圆相切时,在y轴上的截距-b取得最大值或最小值,此时圆心到直线的距离d,解得b10b0所以x2y的最大值为10,最小值为0. 圆的方程1(2019·西安模拟)已知圆C过点A(6,0)B(1,5)且圆心在直线l2x7y80则圆C的方程为________________答案 (x3)2(y2)213解析 方法一 (几何法)kAB=-1AB的垂直平分线方程为yxxy10,联立方程解得r故圆C的方程为(x3)2(y2)213.(圆的任何一条弦的垂直平分线过圆心)方法二 (待定系数法)设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2.由题意可得解得故所求圆C的方程为(x3)2(y2)213.2已知圆心在x轴上半径为的圆位于y轴右侧且截直线x2y0所得弦的长为2则圆的方程为__________答案 (x2)2y25解析 根据题意,设圆的圆心坐标为(a,0)(a>0),则圆的标准方程为(xa)2y25(a>0),则圆心到直线x2y0的距离da.又该圆截直线x2y0所得弦的长为2,所以可得1225,解得a2.故圆的方程为(x2)2y25.3若不同的四点A(5,0)B(1,0)C(3,3)D(a,3)共圆a的值是________答案 7解析 四点共圆,设圆的方程为x2y2DxEyF0解得所以圆的方程为x2y24xy50D(a,3)代入得a24a210.解得a7a=-3()思维升华 (1)直接法:直接求出圆心坐标和半径,写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心(ab)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出abr的值;选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于DEF的方程组,进而求出DEF的值 与圆有关的轨迹问题1 已知RtABC的斜边为ABA(1,0)B(3,0)(1)直角顶点C的轨迹方程(2)直角边BC的中点M的轨迹方程 (1)方法一 C(xy),因为ABC三点不共线,所以y0.因为ACBC,且BCAC斜率均存在,所以kAC·kBC=-1kACkBC,所以·=-1化简得x2y22x30.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0)方法二 AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知CDAB2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于ABC三点不共线,所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)(2)M(xy)C(x0y0),因为B(3,0)M是线段BC的中点,由中点坐标公式得xy所以x02x3y02y.(1)知,点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)x02x3y02y代入得(2x4)2(2y)24(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0)思维升华 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:直接法:直接根据题目提供的条件列出方程定义法:根据圆、直线等定义列方程几何法:利用圆的几何性质列方程相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式跟踪训练1 设定点M(3,4)动点N在圆x2y24上运动OMON为两边作平行四边形MONP求点P的轨迹方程 如图,设P(xy)N(x0y0)则线段OP的中点坐标为线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分,所以整理得又点N(x0y0)在圆x2y24上,所以(x3)2(y4)24.所以点P的轨迹是以(3,4)为圆心,2为半径的圆,直线OM与轨迹相交于两点,不符合题意,舍去,所以点P的轨迹为(x3)2(y4)24,除去两点. 与圆有关的最值问题2 (1)(2020·保定质检)已知A(0,2)P在直线xy20Q在圆Cx2y24x2y0PAPQ的最小值是________答案 2解析 因为圆Cx2y24x2y0故圆C是以C(2,1)为圆心,半径r的圆设点A(0,2)关于直线xy20的对称点为A(mn)解得A(4,-2)连结AC交圆CQ,由对称性可知PAPQAPPQAQACr2.(2)已知实数xy满足方程x2y24x10的最大值和最小值 原方程可化为(x2)2y23表示以(2,0)为圆心,为半径的圆的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设k,即ykx.当直线ykx与圆相切时,斜率k取最大值和最小值,此时,解得k±.所以的最大值为,最小值为-.本例(2)中,求yx的最大值和最小值 yx可看作是直线yxby轴上的截距,当直线yxb与圆相切时,直线在y轴上的截距b取得最大值和最小值,此时,解得b=-.所以yx的最大值为-2,最小值为-2.本例(2)中,求x2y2的最大值和最小值 x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2所以x2y2的最大值是(2)274x2y2的最小值是(2)274.思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解(2)与圆上点(xy)有关代数式的最值的常见类型及解法形如u型的最值问题,可转化为过点(ab)和点(xy)的直线的斜率的最值问题;形如taxby型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;形如(xa)2(yb)2型的最值问题,可转化为动点到定点(ab)的距离的平方的最值问题跟踪训练2 已知M(xy)为圆Cx2y24x14y450上任意一点且点Q(2,3)(1)MQ的最大值和最小值(2)的最大值和最小值(3)yx的最大值和最小值 (1)由圆Cx2y24x14y450可得(x2)2(y7)28圆心C的坐标为(2,7),半径r2.QC4MQmax426MQmin422.(2)可知表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y3k(x2)kxy2k30.直线MQ与圆C有交点,2可得2k2的最大值为2,最小值为2.(3)yxb,则xyb0.当直线yxb与圆C相切时,截距b取到最值,2b9b1.yx的最大值为9,最小值为1.

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