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    2021高考数学一轮复习学案:第八章8.4直线与圆的位置关系

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    2021高考数学一轮复习学案:第八章8.4直线与圆的位置关系

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    §8.4 直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系d<r相交dr相切d>r相离(2)代数法概念方法微思考1过一定点作圆的切线切线条数可能有几种情况提示 三种情况若点在圆上则该点为切点切线只有一条若点在圆外切线应有两条若点在圆内切线为零条2求圆的弦长有几种常用方法提示 三种(1)用代数法求出弦的端点坐标然后利用两点间的距离公式(2)利用半径半弦和圆心到直线的垂线段构成的直角三角形(3)利用弦长公式若斜率为k的直线与圆交于A(x1y1)B(x2y2)AB|x1x2||y1y2|(其中k0)特别地k0AB|x1x2|当斜率不存在时AB|y1y2|.题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”“×”)(1)若直线与圆有公共点则直线与圆相交( × )(2)直线ykx1和圆x2y24一定相交(  )(3)过圆Ox2y2r2上一点P(x0y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.(  )(4)过圆Ox2y2r2外一点P(x0y0)作圆的两条切线切点分别为ABOPAB四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.(  )(5)如果直线与圆组成的方程组有解则直线与圆相交或相切(  )题组二 教材改编2(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是________答案 相交解析 圆心(1,-2)到直线2xy50的距离为<,故直线与圆相交3若过点(1,-2)的直线l被圆x2y22x2y10截得的弦长为则直线l的斜率为________答案 1解析 将圆的方程化为标准方程得(x1)2(y1)21圆心坐标为(1,1),半径r1又弦长为圆心到直线l的距离d设直线l的斜率为k(易知直线l斜率存在),又直线l过点(1,-2)直线l的方程为y2k(x1),即kxyk20,即(k1)(7k17)0解得k1k则直线l的斜率为1.题组三 易错自纠4若直线lxym0与圆Cx2y24x2y10恒有公共点m的取值范围是________________答案 [21,21]解析 C的标准方程为(x2)2(y1)24,圆心为(2,1),半径为2,圆心到直线的距离d,若直线与圆恒有公共点,则2解得-21m21.5过点A(3,5)作圆Cx2y22x4y10的切线则切线的方程为__________________答案 5x12y450x30解析 化圆x2y22x4y10为标准方程得(x1)2(y2)24,其圆心为(1,2)AC>2A(3,5)在圆外显然,当直线斜率不存在时,直线与圆相切,即切线方程为x30,当切线斜率存在时,可设所求切线方程为y5k(x3),即kxy53k0.又圆心为(1,2),半径r2,而圆心到切线的距离d2|32k|2k故所求切线方程为5x12y450x30.6(2020·苏北四市摸底)若直线axy10被圆x2y22axa0截得的弦长为2则实数a的值是________答案 2解析 x2y22axa0可化为(xa)2y2a2a圆心为(a,0),半径为圆心到直线的距离为d.直线axy10被圆x2y22axa0截得的弦长为2a211a2aa=-2(符合a2a>0) 直线与圆的位置关系的判断1已知点M(ab)在圆Ox2y21则直线axby1与圆O的位置关系是________答案 相交解析 因为M(ab)在圆Ox2y21外,所以a2b2>1,而圆心O到直线axby1的距离d<1.所以直线与圆相交2x2y22x4y0与直线2txy22t0(tR)的位置关系为________答案 相交解析 直线2txy22t0恒过点(1,-2)12(2)22×14×(2)=-5<0(1,-2)在圆x2y22x4y0内,直线2txy22t0与圆x2y22x4y0相交3ABCasin Absin Bcsin C0则圆Cx2y21与直线laxbyc0的位置关系是________答案 相切解析 因为asin Absin Bcsin C0所以由正弦定理,得a2b2c20.故圆心C(0,0)到直线laxbyc0的距离d1r,故圆Cx2y21与直线laxbyc0相切4(2019·苏州、无锡、常州、镇江模拟)若直线3x4ym0与圆x2y22x4y40始终有公共点则实数m的取值范围是________答案 [0,10]解析 圆的方程x2y22x4y40化为标准方程为(x1)2(y2)21所以圆心为(1,2),半径r1圆心到直线3x4ym0的距离d直线3x4ym0与圆x2y22x4y40始终有公共点,01,解得0m10实数m的取值范围是[0,10]思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法:利用dr的关系(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题 切线问题1 已知圆C(x1)2(y2)210求满足下列条件的圆的切线方程(1)与直线l1xy40平行(2)与直线l2x2y40垂直(3)过切点A(4,-1) (1)设切线方程为xyb0b1±2切线方程为xy1±20.(2)设切线方程为2xym0m±5切线方程为2xy±50.(3)kAC过切点A(4,-1)的切线斜率为-3过切点A(4,-1)的切线方程为y1=-3(x4)3xy110.思维升华 解决圆的切线问题的关键是抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系求解跟踪训练1 P为射线x2(y0)上一点P作圆x2y23的两条切线若两条切线的夹角为90°则点P的坐标为(  )A(2,1)   B(2,2)C(2)   D(2,0)答案 C解析 如图所示设切点为AB,则OAAPOBBPOAOBAPBPAPBP,故四边形OAPB为正方形,|OP|xP2,则P(2) 直线与圆相交问题命题点1 圆的弦长2 直线xy20与圆x2y24相交于AB两点则弦AB的长为________答案 2解析 x2y24的圆心为点(0,0),半径r2圆心到直线xy20的距离d1弦长AB22.命题点2 直线与圆相交求参数范围3 已知直线lkxy2k0Cx2y22x2y20.(1)求证无论k取何值直线l与圆C都有两个交点(2)k1求直线l被圆C截得的弦长(3)是否存在实数k使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点若存在求出实数k的值若不存在请说明理由(1)证明 直线l的方程可化为k(x2)y0所以直线l过定点(2,0)由于22022×22×02<0,故点(2,0)在圆C内,所以直线l与圆C恒有两个交点(2) k1时,直线l的方程为xy20Cx2y22x2y20的圆心C(1,1),半径r2.圆心C到直线l的距离d所以直线l被圆C截得的弦长为222.(3) 存在A(x1y1)B(x2y2)kxy2k0x2y22x2y20消元得(k21)x2(4k22k2)x4k24k20x1,2所以x1x2x1x2.因为以线段AB为直径的圆过原点,所以x1x2y1y20所以(k21)x1x22k2(x1x2)4k20所以(k21)·2k2·4k20所以k=-.思维升华 (1)直线和圆问题的代数解法就是联立直线方程和圆的方程,通过交点坐标满足的关系式解题,往往设而不求(2)弦长问题可采用几何法,利用半弦、半径和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形跟踪训练2 (1)过三点A(1,3)B(4,2)C(1,-7)的圆交y轴于MN两点MN__________.答案 4解析 由已知,得(3,-1)(3,-9),则·3×(3)(1)×(9)0,所以,即ABBC,故过三点ABC的圆以AC为直径,得其方程为(x1)2(y2)225,令x0(y2)224,解得y1=-22y2=-22,所以MN|y1y2|4.(2)(2019·江苏省如东高级中学等四校联考)在平面直角坐标系xOy已知圆Cx2y22直线xby20与圆C相交于AB两点||||b的取值范围是________________答案 解析 AB中点为M,则||||2OM× 2AM,即OMOA.又直线xby20与圆C相交于AB两点,所以OM<,而OM所以<,解得1<b2b的取值范围是..

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