所属成套资源:2021高考数学人教A版一轮复习学案
2021高考数学一轮复习学案:第八章8.4直线与圆的位置关系
展开§8.4 直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.d<r⇔相交;d=r⇔相切;d>r⇔相离.(2)代数法:概念方法微思考1.过一定点作圆的切线,切线条数可能有几种情况.提示 三种情况,若点在圆上则该点为切点,切线只有一条;若点在圆外,切线应有两条;若点在圆内,切线为零条.2.求圆的弦长有几种常用方法.提示 三种.(1)用代数法求出弦的端点坐标,然后利用两点间的距离公式.(2)利用半径、半弦和圆心到直线的垂线段构成的直角三角形.(3)利用弦长公式.若斜率为k的直线与圆交于A(x1,y1),B(x2,y2),AB=|x1-x2|=|y1-y2|(其中k≠0),特别地,当k=0时,AB=|x1-x2|,当斜率不存在时,AB=|y1-y2|.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.( × )(2)直线y=kx+1和圆x2+y2=4一定相交.( √ )(3)过圆O:x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程是x0x+y0y=r2.( √ )(4)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.( √ )(5)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.( √ )题组二 教材改编2.圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是________.答案 相交解析 圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离为=<,故直线与圆相交.3.若过点(-1,-2)的直线l被圆x2+y2-2x-2y+1=0截得的弦长为,则直线l的斜率为________.答案 1或解析 将圆的方程化为标准方程得(x-1)2+(y-1)2=1,∴圆心坐标为(1,1),半径r=1,又弦长为,∴圆心到直线l的距离d==,设直线l的斜率为k(易知直线l斜率存在),又直线l过点(-1,-2),∴直线l的方程为y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0,∴=,即(k-1)(7k-17)=0,解得k=1或k=,则直线l的斜率为1或.题组三 易错自纠4.若直线l:x-y+m=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0恒有公共点,则m的取值范围是________________.答案 [-2-1,2-1]解析 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为(2,1),半径为2,圆心到直线的距离d=,若直线与圆恒有公共点,则≤2,解得-2-1≤m≤2-1.5.过点A(3,5)作圆C:x2+y2-2x-4y+1=0的切线,则切线的方程为__________________.答案 5x-12y+45=0或x-3=0解析 化圆x2+y2-2x-4y+1=0为标准方程得(x-1)2+(y-2)2=4,其圆心为(1,2),∵AC==>2,∴点A(3,5)在圆外.显然,当直线斜率不存在时,直线与圆相切,即切线方程为x-3=0,当切线斜率存在时,可设所求切线方程为y-5=k(x-3),即kx-y+5-3k=0.又圆心为(1,2),半径r=2,而圆心到切线的距离d==2,即|3-2k|=2,∴k=,故所求切线方程为5x-12y+45=0或x-3=0.6.(2020·苏北四市摸底)若直线ax+y+1=0被圆x2+y2-2ax+a=0截得的弦长为2,则实数a的值是________.答案 -2解析 圆x2+y2-2ax+a=0可化为(x-a)2+y2=a2-a,∴圆心为(a,0),半径为,圆心到直线的距离为d==.∵直线ax+y+1=0被圆x2+y2-2ax+a=0截得的弦长为2,∴a2+1+1=a2-a,∴a=-2(符合a2-a>0). 直线与圆的位置关系的判断1.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是________.答案 相交解析 因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1,而圆心O到直线ax+by=1的距离d==<1.所以直线与圆相交.2.圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为________.答案 相交解析 直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),∵12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0,∴点(1,-2)在圆x2+y2-2x+4y=0内,直线2tx-y-2-2t=0与圆x2+y2-2x+4y=0相交.3.在△ABC中,若asin A+bsin B-csin C=0,则圆C:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0的位置关系是________.答案 相切解析 因为asin A+bsin B-csin C=0,所以由正弦定理,得a2+b2-c2=0.故圆心C(0,0)到直线l:ax+by+c=0的距离d==1=r,故圆C:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0相切.4.(2019·苏州、无锡、常州、镇江模拟)若直线3x+4y-m=0与圆x2+y2+2x-4y+4=0始终有公共点,则实数m的取值范围是________.答案 [0,10]解析 圆的方程x2+y2+2x-4y+4=0化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=1,所以圆心为(-1,2),半径r=1,圆心到直线3x+4y-m=0的距离d==,∵直线3x+4y-m=0与圆x2+y2+2x-4y+4=0始终有公共点,∴0≤≤1,解得0≤m≤10,∴实数m的取值范围是[0,10].思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法:利用d与r的关系.(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 切线问题例1 已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=10,求满足下列条件的圆的切线方程.(1)与直线l1:x+y-4=0平行;(2)与直线l2:x-2y+4=0垂直;(3)过切点A(4,-1).解 (1)设切线方程为x+y+b=0,则=,∴b=1±2,∴切线方程为x+y+1±2=0.(2)设切线方程为2x+y+m=0,则=,∴m=±5,∴切线方程为2x+y±5=0.(3)∵kAC==,∴过切点A(4,-1)的切线斜率为-3,∴过切点A(4,-1)的切线方程为y+1=-3(x-4),即3x+y-11=0.思维升华 解决圆的切线问题的关键是抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系求解.跟踪训练1 点P为射线x=2(y≥0)上一点,过P作圆x2+y2=3的两条切线,若两条切线的夹角为90°,则点P的坐标为( )A.(2,1) B.(2,2)C.(2,) D.(2,0)答案 C解析 如图所示.设切点为A,B,则OA⊥AP,OB⊥BP,OA=OB,AP=BP,AP⊥BP,故四边形OAPB为正方形,则|OP|=,又xP=2,则P(2,). 直线与圆相交问题命题点1 圆的弦长例2 直线x+y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长为________.答案 2解析 ∵圆x2+y2=4的圆心为点(0,0),半径r=2,∴圆心到直线x+y-2=0的距离d==1,∴弦长AB=2=2.命题点2 直线与圆相交求参数范围例3 已知直线l:kx-y-2k=0,圆C:x2+y2-2x-2y-2=0.(1)求证:无论k取何值,直线l与圆C都有两个交点;(2)若k=1,求直线l被圆C截得的弦长;(3)是否存在实数k,使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出实数k的值;若不存在,请说明理由.(1)证明 直线l的方程可化为k(x-2)-y=0,所以直线l过定点(2,0).由于22+02-2×2-2×0-2<0,故点(2,0)在圆C内,所以直线l与圆C恒有两个交点.(2)解 当k=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆C:x2+y2-2x-2y-2=0的圆心C(1,1),半径r=2.圆心C到直线l的距离d==,所以直线l被圆C截得的弦长为2=2=2.(3)解 存在.设A(x1,y1),B(x2,y2).由kx-y-2k=0与x2+y2-2x-2y-2=0消元得(k2+1)x2-(4k2+2k+2)x+4k2+4k-2=0,x1,2=,所以x1+x2=,x1x2=.因为以线段AB为直径的圆过原点,所以x1x2+y1y2=0,所以(k2+1)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2=0,所以(k2+1)·-2k2·+4k2=0,所以k=-1±.思维升华 (1)直线和圆问题的代数解法就是联立直线方程和圆的方程,通过交点坐标满足的关系式解题,往往“设而不求”.(2)弦长问题可采用几何法,利用半弦、半径和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形.跟踪训练2 (1)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则MN=__________.答案 4解析 由已知,得=(3,-1),=(-3,-9),则·=3×(-3)+(-1)×(-9)=0,所以⊥,即AB⊥BC,故过三点A,B,C的圆以AC为直径,得其方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0得(y+2)2=24,解得y1=-2-2,y2=-2+2,所以MN=|y1-y2|=4.(2)(2019·江苏省如东高级中学等四校联考)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2=2,直线x+by-2=0与圆C相交于A,B两点,且|+|≥|-|,则b的取值范围是________________.答案 ∪解析 设AB中点为M,则|+|≥|-|,即2OM≥× 2AM,即OM≥OA=.又直线x+by-2=0与圆C相交于A,B两点,所以≤OM<,而OM=,所以≤<,解得1<b2≤,即b的取值范围是∪..