2021高考数学一轮复习学案：第八章微专题七与圆交汇问题的求解

微专题七　与圆交汇问题的求解

与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．

一、与圆有关的最值问题

例1 (1)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为________．

(2)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为________．

答案　(1)7　(2)－

解析　(1)∵A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆的直径，故＋＝2＝(－4,0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，＝(x－2，y)，

∴＋＋＝(x－6，y)．

故|＋＋|＝，

∴当x＝－1时有最大值＝7.

(2)∵S△AOB＝OA·OBsin∠AOB＝sin∠AOB≤.

当∠AOB＝时，△AOB的面积最大．

此时O到AB的距离d＝.

设AB的方程为y＝k(x－)(k<0)，

即kx－y－k＝0.

由d＝＝，得k＝－..

二、直线与圆的综合问题

例2 (1)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB＝________.

(2)已知直线y＝ax＋3与圆x2＋y2＋2x－8＝0相交于A，B两点，点P(x0，y0)在直线y＝2x上，且PA＝PB，则x0的取值范围为________________．

答案　(1)6　(2)(－1,0)∪(0,2)

解析　(1)由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，

∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，

∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．

∴AC2＝36＋4＝40.又r＝2，∴AB2＝40－4＝36.

∴AB＝6.

(2)由条件得圆心C(－1,0)，

它到直线l：y＝ax＋3的距离为d＝<3，

解得a>0或a<－.

由PA＝PB，CA＝CB，得PC⊥l，

于是kPC＝－(易知a≠0)，即＝－.

由<0或0<<，

得－1<x0<0或0<x0<2.

三、圆与圆的位置关系问题

例3 在平面直角坐标系xOy中，若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围是________．

答案　(2－2，2)∪(2,2＋2)

解析　由题意可知，以A(2,2)为圆心，1为半径的圆与以B(m,0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4<(m－2)2＋4<16，所以－2＋2<m<2＋2，且m≠2.