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    2021高考数学一轮复习学案:第十章10.3二项式定理

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    2021高考数学一轮复习学案:第十章10.3二项式定理

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    §10.3 二项式定理1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1b1CanrbrCbn(nN*)二项展开式的通项公式Tr1Canrbr,它表示第r1二项式系数二项展开式中各项的系数CCC 2.二项式系数的性质(1)C1C1CCC.CC(0mn)(2)二项式系数先增后减中间项最大n为偶数时1项的二项式系数最大最大值为n为奇数时项和第项的二项式系数最大最大值为.(3)各二项式系数和CCCC2nCCCCCC2n1.概念方法微思考1(ab)n(ba)n的展开式有何区别与联系提示 (ab)n的展开式与(ba)n的展开式的项完全相同但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同2二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗提示 不一定最大当二项式中ab的系数为1此时二项式系数等于项的系数否则不一定题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”“×”)(1)Canrbr(ab)n的展开式的第r( × )(2)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与ab无关(  )(3)二项展开式中系数最大的项为中间一项或中间两项( × )(4)(ab)n某项的系数是该项中非字母因数部分包括符号等与该项的二项式系数不同(  )题组二 教材改编2(12x)5的展开式中x2的系数等于(  )A80  B40  C20  D10答案 B解析 Tr1C(2x)rC2rxr,当r2时,x2的系数为C·2240.3n展开式的二项式系数之和为64则展开式的常数项为(  )A10  B20  C30  D120答案 B解析 二项式系数之和2n64,所以n6Tr1C·x6r·rCx62r,当62r0,即当r3时为常数项,T4C20.4(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a0a2a4的值为(  )A9  B8  C7  D6答案 B解析 x1,则a0a1a2a3a40,令x=-1,则a0a1a2a3a416,两式相加得a0a2a48.题组三 易错自纠5(xy)n的二项展开式中m项的系数是(  )AC   BCCC   D(1)m1C答案 D解析 (xy)n二项展开式第m项的通项为TmC(y)m1xnm1所以系数为C(1)m1.6已知n(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32常数项为80a的值为(  )A1  B±1  C2  D±2答案 C解析 根据题意,该二项式的展开式的二项式系数之和为32,则有2n32,可得n5,则二项式的展开式通项为Tr1C()5r·rarC,令0,得r3,则其常数项为Ca3,根据题意,有Ca380,可得a2.7n的展开式中,所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为________答案 1解析 因为所有二项式系数的和是32,所以2n32,解得n5.5中,令x1可得展开式中各项系数的和为(21)51. 多项展开式的特定项命题点1 二项展开式问题1 (1)(2020·山东模拟)10的展开式中x4的系数是(  )A.-210   B.-120C120   D210答案 B解析 由二项展开式,知其通项为Tr1C10r(x)r(1)rCx2r102r104,解得r7.所以x4的系数为(1)7C=-120.(2)(2019·浙江)在二项式(x)9的展开式中常数项是________系数为有理数的项的个数是________答案 16 5解析 该二项展开式的第r1项为Tr1C()9rxr,当r0时,第1项为常数项,所以常数项为()916;当r1,3,5,7,9时,展开式的项的系数为有理数,所以系数为有理数的项的个数为5.命题点2 两个多项式积的展开式问题2 (1)(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为(  )A12  B16  C20  D24答案 A解析 展开式中含x3的项可以由1x32x2x的乘积组成,则x3的系数为C2C4812.(2)(1x)6的展开式中x2的系数为(  )A15  B20  C30  D35答案 C解析 因为(1x)6的通项为Cxr,所以(1x)6的展开式中含x2的项为1·Cx2·Cx4.因为CC2C2×30所以(1x)6的展开式中x2的系数为30.故选C.命题点3 三项展开式问题3 (1)(x2xy)5的展开式中x5y2的系数为(  )A10   B20C30   D60答案 C解析 方法一 利用二项展开式的通项求解(x2xy)5[(x2x)y]5y2的项为T3C(x2x)3·y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4·xCx5.所以x5y2的系数为CC30.故选C.方法二 利用排列组合知识求解(x2xy)55x2xy之积,其中有两个因式取y,剩余的三个因式中两个取x2,一个取x即可,所以x5y2的系数为CCC30.故选C.(2)(2020·合肥检测)5展开式中的常数项为(  )A1  B11  C.-19  D51答案 B解析 55展开式的通项为Tr1C5rr5时,常数项为C1r3时,常数项为-CC=-20r1时,常数项为CC30.综上所述,常数项为1203011.思维升华 (1)求二项展开式中的特定项,一般是化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数r1代回通项公式即可(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般都可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决跟踪训练1 (1)(x2x1)(x1)4的展开式中x3的系数为(  )A.-3  B.-2  C1  D4答案 B解析 (x1)4的通项为Tr1Cx4r(1)r(x2x1)(x1)4的展开式中,x3的系数为C(1)3C(1)2C(1)=-2,故选B.(2)(xa)10的展开式中x7项的系数为15a______.(用数字填写答案)答案 解析 通项为Tr1Cx10rar,令10r7r3x7项的系数为Ca315a3a.(3)(12x3x2)5展开式中x5的系数为________答案 92解析 方法一 (12x3x2)5[(12x)3x2]5C(12x)5C(12x)4(3x2)C(12x)3(3x2)2C(3x2)5所以x5的系数为CC25CC×23×(3)CC×2×(3)292.方法二 (12x3x2)5(1x)5(13x)5,所以x5的系数为CC35C(1)C34C(1)2C33C(1)3C32C(1)4C31C(1)5C3092. 二项式系数的和与各项系数的和问题命题点1 二项式系数和与系数和4 (1)(2019·郑州一中测试)若二项式n的展开式的二项式系数之和为8则该展开式每一项的系数之和为(  )A.-1  B1  C27  D.-27答案 A解析 依题意得2n8,解得n3.x1得,该二项展开式每一项的系数之和为(12)3=-1.(2)(2019·宣城调研)(2x)7a0a1(1x)a2(1x)2a7(1x)7a0a1a2a6的值为(  )A1   B2C129   D2 188答案 C解析 x0a0a1a2a727128(2x)7[3(x1)]7a7(1x)7C·30·[(x1)]7,解得a7=-1.a0a1a2a6128a71281129.命题点2 二项式系数的最值问题5 (2019·马鞍山模拟)二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大则展开式中x的指数为整数的项的个数为(  )A3  B5  C6  D7答案 D解析 根据n的展开式中只有第11项的二项式系数最大,得n20n的展开式的通项为Tr1C·(x)20r·r()20r·C·,要使x的指数是整数,需r3的倍数,r0,3,6,9,12,15,18x的指数是整数的项共有7思维升华 (1)形如(axb)n(ax3bxc)m(abcR)的式子求其展开式的各项系数之和,常采用赋值法,只需令x1即可(2)n为偶数时,展开式中第1项的二项式系数最大,最大值为;当n为奇数时,展开式中第项和第项的二项式系数最大,最大值为.跟踪训练2 (1)(2019·山西八校联考)已知(1x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等则奇数项的二项式系数和为(  )A29  B210  C211  D212答案 A解析 由题意知CC,由组合数性质得n10,则奇数项的二项式系数和为2n129.(2)已知m为正整数(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.13a7bm等于(  )A5  B6  C7  D8答案 B解析 由题意可知,aCbC13a7b13·,解得m6.(3)(2019·合肥质检)已知m是常数(mx1)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0a1a2a3a4a533m________.答案 3解析 x0时,(1)5=-1a0.x1时,(m1)5a0a1a2a3a4a533132,则m12m3.

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