2021高考数学一轮复习学案：第十章10.5二项分布与正态分布


§10.5　二项分布与正态分布


1．条件概率及其性质
(1)条件概率的定义
对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率．
(2)条件概率的求法
求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概率公式，即P(B|A)＝.
2．相互独立事件
(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B相互独立．
(2)若A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A，B相互独立．
3．二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)．
4．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，V(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．
5．正态分布
(1)正态曲线：函数P(x)＝，x∈R，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数P(x)的图象为正态密度曲线．
(2)正态曲线的特点
①当xμ时，曲线下降．当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线；
②正态曲线关于直线x＝μ对称；
③σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡；
④在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%.
②落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%.
③落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%.
概念方法微思考
1．条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？
提示　不一样，P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率．
2．“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？
提示　两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　×　)
(2)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(　×　)
(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．(　√　)
(4)正态分布完全由参数μ和σ确定，参数μ可用样本的均值去估计，σ可用样本的标准差去估计．(　√　)
题组二　教材改编
2．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　)
A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56
答案　C
解析　设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，
则两地恰有一地降雨为A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.2×0.7＋0.8×0.3
＝0.38.
3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设A＝{甲第一次拿到白球}，B＝{甲第二次拿到红球}，
则P(AB)＝＝，P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝.
4．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X2c－1)＝P(X10)＝1－P(X≤10)＝0.226 6，
可得Z～B(20,0.226 6)，
P(Z≥2)＝1－P(Z＝0)－P(Z＝1)
＝1－0.773 420－C×0.226 6×0.773 419
＝1－(0.773 4＋20×0.226 6)×0.007 6
≈0.959 7.
Z的均值E(Z)＝20×0.226 6＝4.532.
思维升华　解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
跟踪训练2　某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分分别为7,8,10,15,17,19,21,23.
(1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ；
(2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N(μ，σ2)，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在不低于26分的平均场数(结果保留整数)．
参考数据：≈5.66，≈5.68，≈5.70.
正态总体N(μ，σ2)在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率约为95.4%.
解　(1)由题意可得μ＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，
σ2＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25，
所以σ≈5.68.
所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15，标准差σ为5.68.
(2)设甲每场比赛中的得分为随机变量X，
由(1)得甲在每场比赛中得分不低于26分的概率
P(X≥26)≈[1－P(μ－2σ