2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第二章2.1第2课时函数的定义域与值域

第2课时　函数的定义域与值域
函数的定义域
求下列函数的定义域：
(1)y＝＋；
(2)y＝＋lg cos x；
(3)y＝－log2(4－x2)；
(4)y＝＋(2x－5)0.
解　(1)由得
所以函数的定义域为{x|x≤－1或x≥1且x≠±2}．
(2)由得
所以函数的定义域为∪∪.
(3)要使函数有意义，必须
解得－2 ∴函数的定义域为(－2,0)∪[1,2)．
(4)由得
∴函数的定义域为∪.
思维升华　(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等．
(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．
函数的值域
例1　求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝2x＋；
(4)y＝＋；
(5)y＝|x＋1|＋|x－2|；
(6)f (x)＝min{|x＋1|，|x－2|}，其中min{a，b}＝
解　(1)分离常数法：y＝＝－1＋，
∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1，∴0<≤2，
∴－1<－1＋≤1，
∴函数的值域为(－1,1]．
(2)方法一
由y＝x＋＋1，得x2＋(1－y)x＋1＝0.
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.
即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2或y－1≥2.
得y≤－1或y≥3.
即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
方法二　令y′＝1－＝<0，
得－1 ∴函数在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，此时y≥3；函数在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)上单调递增，此时y≤－1.
∴y≤－1或y≥3.
即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(3)令＝t，t≥0，则x＝1－t2，
∴y＝2－2t2＋t＝－22＋≤，
即函数的值域为.
(4)函数的定义域为[1，＋∞)，
∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均为增函数，
∴y＝＋在[1，＋∞)上为增函数，
∴x＝1时，ymin＝，即函数的值域为[，＋∞)．
(5)方法一　由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
所以函数的值域为[3，＋∞)．
方法二　y＝
画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)．

(6)画出f (x)大致图象(实线部分)，

由图可知，x＝－1或2时，f (x)min＝0，
∴值域为[0，＋∞)．
结合本例(4)求函数y＝－的值域．
解　函数的定义域为[1，＋∞)，
y＝－＝，
由本例(4)知函数y＝＋的值域为[，＋∞)，
∴0<≤，
∴0<≤，
∴函数的值域为(0，]．
思维升华　求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法．
跟踪训练1　求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝x＋4；
(3)y＝.
解　(1)方法一　y＝＝－1＋，
因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<≤2.
所以－1<－1＋≤1.
即函数的值域为(－1,1]．
方法二　由y＝，得x2＝.
因为x2≥0，所以≥0.
所以－1 (2)设t＝，t≥0，则x＝1－t2，
所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)，
所以y≤5，
所以原函数的值域为(－∞，5]．
(3)y＝＝
＝x＋＝x－＋＋，
因为x>，所以x－>0，
所以x－＋≥2＝，
当且仅当x－＝，即x＝时取等号．
所以y≥＋，即原函数的值域为.
定义域与值域的应用
例2　(1)若函数f (x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．
答案　－
解析　函数f (x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}，
所以解得
所以a＋b＝－－3＝－.
(2)已知函数y＝的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围．
解　令t＝g(x)＝x2＋ax－1＋2a，要使函数y＝的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)⊆{y|y＝g(x)}，即二次函数的判别式Δ≥0，即a2－4(2a－1)≥0，即a2－8a＋4≥0，解得a≥4＋2或a≤4－2，∴a的取值范围是{a|a≥4＋2或a≤4－2}．
思维升华　已知函数的定义域、值域求参数问题．可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程、不等式(组)，然后求解．
跟踪训练2　(1)若函数f (x)＝在[2 021，＋∞)上有意义，则实数a的取值范围为________．
答案　[1，＋∞)
解析　由于函数f (x)＝在[2 021，＋∞)上有意义，
即ax－2 021≥0在[2 021，＋∞)上恒成立，即a≥在[2 021，＋∞)上恒成立，而0<≤1，故a≥1.
(2)已知函数f (x)＝(x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b](b>1)，则实数b＝________.
答案　3
解析　f (x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，b]且b>1，
则f (1)＝1，f (b)＝(b－1)2＋1，
∵f (x)在[1，b]上为增函数，
∴函数值域为.
由已知得(b－1)2＋1＝b，解得b＝3或b＝1(舍)．

我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y＝f (x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体．
一、抽象函数的函数值
例1　(1)设函数y＝f (x)的定义域为(0，＋∞)，f (xy)＝f (x)＋f (y)，若f (8)＝3，则f ()＝________.
答案　
解析　因为f (8)＝3，所以f (2×4)＝f (2)＋f (4)＝f (2)＋f (2×2)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3f (2)＝3，所以f (2)＝1.因为f (2)＝f (×)＝f ()＋f ()＝2f ()，所以2f ()＝1，所以f ()＝.
(2)设函数f (x)的定义域为R，对于任意实数x1，x2，都有f (x1)＋f (x2)＝2f f ，f (π)＝－1，则f (0)＝________.
答案　1
解析　令x1＝x2＝π，
则f (π)＋f (π)＝2f (π)f (0)，∴f (0)＝1.
二、抽象函数的定义域
例2　(1)(2019·皖南八校模拟)已知函数f (x)＝ln(－x－x2)，则函数f (2x＋1)的定义域为________．
答案　
解析　由题意知，－x－x2>0，
∴－1 ∴－1<2x＋1<0，则－1 (2)若函数f (2x)的定义域是[－1,1]，则f (log2x)的定义域为________．
答案　[，4]
解析　对于函数y＝f (2x)，－1≤x≤1，
∴2－1≤2x≤2.
则对于函数y＝f (log2x)，2－1≤log2x≤2，
∴≤x≤4.
故y＝f (log2x)的定义域为[，4]．


1．函数f (x)＝的定义域为(　　)
A. B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
答案　C
解析　由题意可知x满足(log2x)2－1>0，即log2x>1或log2x<－1，解得x>2或0 2．下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝xex D．y＝
答案　D
解析　因为y＝的定义域为{x|x≠0}，而y＝的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，y＝的定义域为{x|x>0}，y＝xex的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≠0}，故D正确．
3．在下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同是(　　)
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
答案　D
解析　函数y＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)，
函数y＝x的定义域和值域均为R，不满足要求；
函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为R，不满足要求；
函数y＝2x的定义域为R，值域为(0，＋∞)，不满足要求；
函数y＝的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求；
故答案为D.
4．函数y＝＋1的值域为(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
答案　D
解析　函数y＝＋1，定义域为[1，＋∞)，根据幂函数性质可知，该函数为增函数，当x＝1时，该函数取得最小值1，故函数y＝＋1的值域为[1，＋∞)．
5．(2019·衡水中学调研)函数f (x)＝的定义域为(　　)
A．(－1,0)∪(0,1] B．(－1,1]
C．(－4，－1) D．(－4,0)∪(0,1]
答案　A
解析　要使函数f (x)有意义，应有解得－1 6．函数y＝1＋x－的值域为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设＝t，则t≥0，x＝，所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2，因为t≥0，所以y≤.所以函数y＝1＋x－的值域为，故选B.
7．函数y＝ 的定义域为(　　)
A．[2，＋∞) B．(－∞，2]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案　A
解析　由题意得－x－3·2x－4≥0，
即22x－3·2x－4≥0.
∴(2x－4)(2x＋1)≥0，解得x≥2.故选A.
8．(2019·衡水武邑中学月考)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0,4] B.
C. D.
答案　C
解析　函数y＝x2－3x－4的图象如图所示．

因为y＝2－≥－，由图可知，m的取值从对称轴的横坐标开始，
一直到点(0，－4)关于对称轴对称的点(3，－4)的横坐标3，故实数m的取值范围是.
9．(2019·江苏)函数y＝的定义域是________．
答案　[－1,7]
解析　要使函数有意义，则7＋6x－x2≥0，解得－1≤x≤7，则函数的定义域是[－1,7]．
10．函数f (x)＝3x＋，x∈[1,2]的值域为________．
答案　[5,7]
解析　令g(x)＝3x＋＝3，x>0，
易证g(x)在上是增函数，
∴f (x)在[1,2]上为增函数，
从而得f (x)的值域为[5,7]．
11．若函数f (x)＝＋2x，则f (x)的定义域是________，值域是________．
答案　[2，＋∞)　[4，＋∞)
解析　x－2≥0⇒x≥2，
所以函数f (x)的定义域是[2，＋∞)；
因为函数y＝，y＝2x都是[2，＋∞)上的单调递增函数，故函数f (x)＝＋2x也是[2，＋∞)上的单调递增函数，
所以函数f (x)的最小值为f (x)min＝f (2)＝4，
故函数f (x)＝＋2x的值域为[4，＋∞)．
12．函数y＝(x>1)的值域为________．
答案　[2＋4，＋∞)
解析　令x－1＝t>0，∴x＝t＋1.
∴y＝＝＝t＋＋4
≥2＋4，当且仅当t＝即t＝时等号成立．
∴函数的值域为[2＋4，＋∞)．

13．若函数y＝f (x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A．[0,1) B．[0,1]
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
答案　A
解析　函数y＝f (x)的定义域是[0,2]，要使函数g(x)有意义，可得解得0≤x<1，故选A.
14．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
答案　[0,3)
解析　因为函数y＝的定义域为R，
所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，
即函数y＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．
当a＝0时，函数y＝3的图象与x轴无交点；
当a≠0时，Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得0 综上所述，a的取值范围是[0,3)．

15．定义新运算“★”：当m≥n时，m★n＝m；当m 答案　[－2,0]∪(4,60]
解析　由题意知，f (x)＝
当x∈[1,2]时，f (x)∈[－2,0]；
当x∈(2,4]时，f (x)∈(4,60]，
故当x∈[1,4]时，f (x)∈[－2,0]∪(4,60]．
16．若函数f (x)＝(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
答案　(1,2]
解析　当x≤2时，f (x)＝－x＋6，f (x)在(－∞，2]上为减函数，∴f (x)∈[4，＋∞)．当x>2时，若a∈(0,1)，则f (x)＝3＋logax在(2，＋∞)上为减函数，f (x)∈(－∞，3＋loga2)，显然不满足题意，∴a>1，此时f (x)在(2，＋∞)上为增函数，f (x)∈(3＋loga2，＋∞)，由题意可知(3＋loga2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋loga2≥4，即loga2≥1，∴1