2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第二章2.4幂函数与二次函数

§2.4　幂函数与二次函数
最新考纲
考情考向分析
1.了解幂函数的概念．
2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝ 的图象，了解它们的变化情况．
3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．
4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
以幂函数的图象与性质的简单应用为主，二次函数的图象与性质常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.



1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
图象





性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1,1)

2.二次函数的图象和性质
解析式
f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象


定义域
R
R
值域


单调性
在x∈上单调递减；在x∈上单调递增
在x∈上单调递增；在x∈上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝－对称

概念方法微思考
1．二次函数的解析式有哪些常用形式？
提示　(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．已知f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f (x)≥0恒成立的条件．
提示　a>0且Δ≤0.
3．函数y＝2x2是幂函数吗？
提示　不是．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是.(　×　)
(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．
(　√　)
(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　)
(4)二次函数y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m≥－2.(　√　)

题组二　教材改编
2．已知幂函数f (x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)
A. B．1 C. D．2
答案　C
解析　由幂函数的定义，知
∴k＝1，α＝.∴k＋α＝.
3．已知函数f (x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
答案　D
解析　函数f (x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，
∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.
4．函数f (x)＝x2－2x＋3在闭区间[0,3]上的最大值为________．最小值为________．
答案　6　2
解析　f (x)＝(x－1)2＋2,0≤x≤3，
∴x＝1时，f (x)min＝2，x＝3时，f (x)max＝6.
题组三　易错自纠
5．幂函数f (x)＝(a∈Z)为偶函数，且f (x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　C
解析　因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
f (x)＝(a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，
又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
6．设二次函数f (x)＝x2－x＋a(a>0)，若f (m)<0，则f (m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”)
答案　>
解析　f (x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m)<0，∴m∈(0,1)，∴m－1<0，∴f (m－1)>0.

幂函数的图象和性质
1．若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
答案　D
解析　设f (x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f (x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.
2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)

A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
答案　B
解析　由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d，故选B.
3．已知幂函数f (x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)
A．－3 B．1 C．2 D．1或2
答案　B
解析　由于f (x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.
4．若，则实数a的取值范围是____________．
答案　(－∞，－ 1)∪
解析　不等式等价于a＋1>3－2a>0或3－2a 思维升华 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
求二次函数的解析式
例1　(1)已知二次函数f (x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f (2－x)＝f (2＋x)，则f (x)＝________.
答案　x2－4x＋3
解析　因为f (2－x)＝f (2＋x)对任意x∈R恒成立，所以f (x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f (x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f (x)＝0的两根为1和3.设f (x)的解析式为f (x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f (x)的图象过点(4,3)，所以3a＝3，即a＝1，所以f (x)的解析式为f (x)＝(x－1)(x－3)，即f (x)＝x2－4x＋3.
(2)若函数f (x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x)＝________.
答案　－2x2＋4
解析　由题易知，a≠0且b≠0.
由f (x)是偶函数知f (x)图象关于y轴对称，
所以－a＝－，即b＝－2，
所以f (x)＝－2x2＋2a2，
又f (x)的值域为(－∞，4]，所以2a2＝4，
故f (x)＝－2x2＋4.
思维升华 求二次函数解析式的方法


跟踪训练1　(1)已知二次函数f (x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x)＝______.
答案　x2＋2x
解析　设函数的解析式为f (x)＝ax(x＋2)(a≠0)，
所以f (x)＝ax2＋2ax，由＝－1，
得a＝1，所以f (x)＝x2＋2x.
(2)二次函数f (x)满足f (2)＝f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，则f (x)＝________.
答案　－4x2＋4x＋7
解析　方法一　(利用一般式)
设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
所以所求二次函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二　(利用顶点式)
因为f (2)＝f (－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝.
又根据题意函数有最大值8，
所以f (x)＝a2＋8.
因为f (2)＝－1，所以a2＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f (x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.

二次函数的图象和性质

命题点1　二次函数的图象
例2　(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　　)

答案　C
解析　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.
(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，已知图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1，给出下面四个结论：

①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a 其中正确的是________．(填序号)
答案　①④
解析　图象与x轴交于两点，∴b2>4ac，①正确；对称轴为直线x＝－1，∴－＝－1，即2a－b＝0，②错误；f (－1)>0，∴a－b＋c>0，③错误；开口向下，a<0，b＝2a，∴5a<2a＝b，④正确，故正确的结论是①④.
命题点2　二次函数的单调性
例3　(1)函数f (x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
答案　D
解析　当a＝0时，f (x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．
当a≠0时，f (x)的对称轴为x＝，
由f (x)在[－1，＋∞)上单调递减，知
解得－3≤a<0.
综上，a的取值范围为[－3,0]．

若函数f (x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.
答案　－3
解析　由题意知f (x)必为二次函数且a<0，
又＝－1，∴a＝－3.
(2)二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f (1)，则f ()，f ，f ()的大小关系是(　　)
A．f () B．f  C．f () D．f () 答案　D
解析　由已知可得二次函数f (x)图象开口向上，对称轴为x＝1，
∵>|－1|>|－1|，
∴f () 命题点3　二次函数的值域、最值
例4　已知函数f (x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
解　f (x)＝a(x＋1)2＋1－a.
(1)当a＝0时，函数f (x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
(2)当a>0时，函数f (x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
(3)当a<0时，函数f (x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为或－3.
思维升华　解决二次函数图象与性质问题时要注意：
(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．
(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
跟踪训练2　(1)已知函数f (x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则函数f (x)的图象可能是(　　)


答案　D
解析　由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C.又f (0)＝c<0，所以排除B，故选D.
(2)若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
答案　A
解析　二次函数y＝kx2－4x＋2图象的对称轴为x＝，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2，当k<0时，<0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，则函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．
(3)设函数f (x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f (x)的最小值．
解　f (x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.
当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x)在区间[t，t＋1]上为减函数，
所以最小值为f (t＋1)＝t2＋1；
当t<1
当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x)在区间[t，t＋1]上为增函数，
所以最小值为f (t)＝t2－2t＋2.
综上可知，当t≤0时，f (x)min＝t2＋1，当0 当t≥1时，f (x)min＝t2－2t＋2.

例　(1)已知a是实数，函数f (x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　由题意知2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．
当x＝0时，－3<0，符合题意，a∈R；
当x≠0时，a<2－，
因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
所以当x＝1时，不等号右边式子取最小值，所以a<.
综上，实数a的取值范围是.
(2)函数f (x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f (x)≤8恒成立，则实数a的最大值为________．
答案　2
解析　令ax＝t，因为a>1，x∈[－1,1]，所以≤t≤a，
原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈，
显然g(t)在上单调递增，
所以f (x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8成立，
所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，
又a>1，所以1 所以a的最大值为2.
(3)(2019·河北武邑调研)已知定义在R上的奇函数f (x)满足：当x≥0时，f (x)＝x3，若不等式f (－4t)>f (2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案　(－∞，－)
解析　由题意知f (x)在R上是增函数，结合f (－4t)>f (2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立，∴mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立⇒⇒m∈(－∞，－)．
素养提升　逻辑推理是指从一些事实命题出发，依据逻辑规则推出另一个命题的思维过程，逻辑推理也是我们解决数学问题最常用、最重要的手段．二次函数的恒成立问题的求解中处处渗透了逻辑推理，此类题目可帮助我们养成严谨、缜密的思维习惯．


1．(2019·福州模拟)若f (x)是幂函数，且满足＝3，则f 等于(　　)
A．3 B．－3 C. D．－
答案　C
解析　设f (x)＝xα，则＝2α＝3，
∴f ＝α＝.
2．(2019·衡水中学调研)在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的部分图象，则函数y＝的图象经过的阴影区域是(　　)


答案　C
解析　函数y＝的图象位于函数y＝x与y＝x2的图象之间，对比各选项中的阴影区域，知C项正确．


3．若幂函数f (x)＝(m2－4m＋4)·在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　)
A．1或3 B．1
C．3 D．2
答案　B
解析　由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，
解得m＝1.
4．已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f (4)>f (1)，则(　　)
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
答案　A
解析　由f (0)＝f (4)，得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x)先减后增，于是a>0，故选A.
5．已知函数f (x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意知即得a>.
6．(2019·郑州质检)若二次函数y＝x2＋ax＋1对于一切x∈恒有y≥0成立，则a的最小值是(　　)
A．0 B．2 C．－ D．－3
答案　C
解析　设g(x)＝x2＋ax＋1，x∈，则g(x)≥0在x∈上恒成立，即a≥－在x∈上恒成立．又h(x)＝－在x∈上为单调递增函数，当x＝时，h(x)max＝h，所以a≥－即可，解得a≥－.
7．已知α∈，若幂函数f (x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝________.
答案　－1
解析　∵α∈，
幂函数f (x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，
∴α是奇数，且α<0，∴α＝－1.
8．已知函数f (x)＝4x2＋kx－8在[－1,2]上不单调，则实数k的取值范围是________．
答案　(－16,8)
解析　函数f (x)＝4x2＋kx－8的对称轴为x＝－，
则－1<－<2，解得－16 9．若二次函数y＝8x2－(m－1)x＋m－7的值域为[0，＋∞)，则m＝________.
答案　9或25
解析　y＝82＋m－7－8·2，
∵值域为[0，＋∞)，∴m－7－8·2＝0，
∴m＝9或25.
10．已知函数f (x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f (x)<0成立，则实数m的取值范围是____________．
答案　
解析　因为函数图象开口向上，
所以根据题意只需满足
解得－ 11．已知函数f (x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．
(1)若函数f (x)的图象过点(－2,1)，且方程f (x)＝0有且只有一个根，求f (x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[3,5]时，g(x)＝f (x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
解　(1)因为f (－2)＝1，即4a－2b＋1＝1，
所以b＝2a.
因为方程f (x)＝0有且只有一个根，
所以Δ＝b2－4a＝0.
所以4a2－4a＝0，所以a＝1，b＝2.
所以f (x)＝x2＋2x＋1.
(2)g(x)＝f (x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝2＋1－2.
由g(x)的图象知，要满足题意，
则≥5或≤3，即k≥12或k≤8，
所以所求实数k的取值范围为(－∞，8]∪[12，＋∞)．
12．已知函数f (x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f (x)的值域；
(2)若函数f (x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
解　(1)当a＝2时，f (x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
函数图象的对称轴为x＝－∈[－2,3]，
∴f (x)min＝f ＝－－3＝－，
f (x)max＝f (3)＝15，
∴f (x)的值域为.
(2)函数图象的对称轴为直线x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，f (x)max＝f (3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；
②当－>1，即a<－时，
f (x)max＝f (－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．
综上可知，a＝－或－1.

13．(2019·杭州学军中学模拟)已知函数f (x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，且满足f (－x)＝f (－1＋x)，则函数f (x)在[－1,3]上的值域为(　　)
A．[0,12] B.
C. D.
答案　B
解析　因为函数f (x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，
所以f (0)＝0，所以b＝0.
因为f (－x)＝f (－1＋x)，
所以函数f (x)的图象的对称轴为x＝－，
所以a＝1，所以f (x)＝x2＋x＝2－，
所以函数f (x)在上为减函数，
在上为增函数，故当x＝－时，函数f (x)取得最小值－.又f (－1)＝0，f (3)＝12，
故函数f (x)在[－1,3]上的值域为，故选B.
14．如果函数f (x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，那么实数a＝________.
答案　1
解析　因为函数f (x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为f (0)＝－a，f (2)＝4－3a，所以或解得a＝1.

15．若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是__________．
答案　[－2,0]
解析　当0≤x<1时，φ(x)＝x2－mx＋m，此时φ(x)单调递增，则≤0，即m≤0；
当x≥1时，φ(x)＝x2＋mx－m，此时φ(x)单调递增，则－≤1，即m≥－2.
综上，实数m的取值范围是[－2,0]．
16．是否存在实数a∈[－2,1]，使函数f (x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
解　f (x)＝(x－a)2＋a－a2，
当－2≤a<－1时，f (x)在[－1,1]上为增函数，
∴由得a＝－1(舍去)；
当－1≤a≤0时，由得a＝－1；
当0 综上可得，存在实数a满足条件，且a＝－1.