2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第二章2.9函数模型及其应用

§2.9　函数模型及其应用
最新考纲
考情考向分析
1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以选择、填空题为主，中档难度.



1．几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f (x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f (x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)

2.三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax0.1)．
②由t－0.1≤0.25＝，得t≥0.6.
故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．
思维升华　求解所给函数模型解决实际问题的关键点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
跟踪训练　(1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f (m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元．
答案　4.24
解析　∵m＝6.5，∴[m]＝6，
则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116

根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，求：
①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
②最低种植成本是________元/100 kg.
答案　①120　②80
解析　因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得
解得
所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.

命题点1　构造二次函数模型
例1　某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是(　　)
A．[4,8] B．[6,10]
C．[4%,8%] D．[6%,10%]
答案　A
解析　根据题意，要使附加税不少于128万元，需×160×R%≥128，
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，
即R∈[4,8]．
命题点2　构造指数函数、对数函数模型
例2　一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解　(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0