2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第三章3.2导数与函数的单调性

§3.2　导数与函数的单调性
最新考纲
考情考向分析
了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).
考查函数的单调性，利用函数的单调性求参数范围；强化分类讨论思想；题型以解答题为主，一般难度较大.



函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导
f′(x)>0
f (x)在(a，b)内单调递增
f′(x)<0
f (x)在(a，b)内单调递减
f′(x)＝0
f (x)在(a，b)内是常数函数

概念方法微思考
“f (x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？
提示　不正确，正确的说法是：
可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任一非空子区间内都不恒为零．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f (x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f (x)在此区间内没有单调性．(　√　)
(2)如果函数f (x)在某个区间内恒有f′(x)≥0，则f (x)在此区间内单调递增．(　×　)
(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f (x)在(a，b)内是减函数．(　√　)
题组二　教材改编
2.如图是函数y＝f (x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)

A．在区间(－2,1)上f (x)是增函数
B．在区间(1,3)上f (x)是减函数
C．在区间(4,5)上f (x)是增函数
D．在区间(3,5)上f (x)是增函数
答案　C
解析　在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f (x)是增函数．
3．函数f (x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　)
A．先增后减 B．先减后增
C．增函数 D．减函数
答案　D
解析　因为在(0，π)上恒有f′(x)＝－sin x－1<0.
所以f (x)在(0，π)上是减函数，故选D.
4．函数f (x)＝ex－x的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
答案　(0，＋∞)　(－∞，0)
解析　由f′(x)＝ex－1>0，解得x>0，故其单调递增区间是(0，＋∞)；由f′(x)<0，解得x<0，故其单调递减区间为(－∞，0)．
题组三　易错自纠
5．若y＝x＋(a>0)在[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
答案　(0,2]
解析　由y′＝1－≥0，得x≤－a或x≥a.
∴y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)．
∵函数在[2，＋∞)上单调递增，
∴[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤2.又a>0，∴0 6．已知函数f (x)＝x2(x－a)．
(1)若f (x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是________________；
(2)若f (x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是________．
答案　(1)(－∞，3]∪　(2)
解析　由f (x)＝x3－ax2，得
f′(x)＝3x2－2ax＝3x.
(1)令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，
若f (x)在(2,3)上单调递减，则有≥3，解得a≥；
若f (x)在(2,3)上单调递增，则有≤2，解得a≤3，
所以若f (x)在(2,3)上单调，实数a的取值范围是(－∞，3]∪.
(2)若f (x)在(2,3)上不单调，则有
可得3
不含参函数的单调性
1．函数f (x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
答案　A
解析　∵f′(x)＝2x－＝(x>0)，
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f (x)为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f (x)为增函数．
2．函数f (x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
答案　D
解析　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.
3．函数f (x)＝x＋2的单调递增区间是__________；单调递减区间是__________．
答案　(－∞，0)　(0,1)
解析　f (x)的定义域为{x|x≤1}，
f′(x)＝1－.令f′(x)＝0，得x＝0.
当00.
∴f (x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．
4．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x)＝xsin x＋cos x，则f (x)的单调递增区间是__________．
答案　和
解析　f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.
令f′(x)＝xcos x>0，
则其在区间(－π，π)上的解集为∪，
即f (x)的单调递增区间为和.
思维升华　确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f (x)的定义域．
(2)求f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
含参数的函数的单调性
例1　已知函数f (x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f (x)的单调性．
解　函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝
＝.
①当01，
∴x∈(0,1)和时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0，
∴函数f (x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减；
②当a＝1时，＝1，
∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
∴函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
③当a>1时，0<<1，
∴x∈和(1，＋∞)时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0，
∴函数f (x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
综上，当0 当a＝1时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>1时，函数f (x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
若将本例中参数a的范围改为a∈R，其他条件不变，试讨论f (x)的单调性？
解　a>0时，讨论同上；
当a≤0时，ax－1<0，
∴x∈(0,1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，
∴函数f (x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
综上，当a≤0时，函数f (x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当0 当a＝1时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>1时，函数f (x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
思维升华　(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
跟踪训练1　已知函数f (x)＝x－＋a(2－ln x)，a>0.试讨论f (x)的单调性．
解　由题意知，f (x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋－＝.
设g(x)＝x2－ax＋2，关于x的二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.
①当Δ<0即00都有f′(x)>0.
此时f (x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．
②当Δ＝0即a＝2时，仅对x＝有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0.此时f (x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数．
③当Δ>0即a>2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，0 则当x变化时，f′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
↗

↘

↗

此时f (x)在，上单调递增，在上单调递减．
综上，当0 当a≥2时，f (x)在，上单调递增，
在上单调递减．
函数单调性的应用

命题点1　比较大小或解不等式
例2　(1)已知函数f (x)＝xsin x，x∈R，则f ，f (1)，f 的大小关系为(　　)
A．f >f (1)>f 
B．f (1)>f >f 
C．f >f (1)>f 
D．f >f >f (1)
答案　A
解析　因为f (x)＝xsin x，所以f (－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f (x)，所以函数f (x)是偶函数，所以f ＝f .又当x∈时，f′(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函数f (x)在上是增函数，所以f f (1)>f ，故选A.
(2)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足xf′(x)－f (x)<0，其中f′(x)是函数f (x)的导函数．若2f (m－2 020)>(m－2 020)f (2)，则实数m的取值范围为________．
答案　(2 020,2 022)
解析　令h(x)＝，x∈(0，＋∞)，
则h′(x)＝.
∵xf′(x)－f (x)<0，∴h′(x)<0，
∴函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∵2f (m－2 020)>(m－2 020)f (2)，m－2 020>0，
∴>，即h(m－2 020)>h(2)．
∴m－2 020<2且m－2 020>0，解得2 020 ∴实数m的取值范围为(2 020,2 022)．
命题点2　根据函数单调性求参数
例3　已知函数f (x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
解　因为f (x)在[1,4]上单调递减，所以当x∈[1,4]时，f′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立．
设G(x)＝－，x∈[1,4]，
所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1，
因为x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－，又因为a≠0，
所以a的取值范围是∪(0，＋∞)．
本例中，若f (x)在[1,4]上存在单调递减区间，求a的取值范围．
解　因为f (x)在[1,4]上存在单调递减区间，
则f′(x)<0在[1,4]上有解，
所以当x∈[1,4]时，a>－有解，
又当x∈[1,4]时，min＝－1(此时x＝1)，
所以a>－1，又因为a≠0，
所以a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．
本例中，若f (x)在[1,4]上单调递增，求a的取值范围．
解　因为f (x)在[1,4]上单调递增，
所以当x∈[1,4]时，f′(x)≥0恒成立，
所以当x∈[1,4]时，a≤－恒成立，
又当x∈[1,4]时，min＝－1(此时x＝1)，
所以a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1]．
思维升华　根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f (x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f (x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
跟踪训练2　(1)已知函数f (x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数，若f (a－1)＋f (2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　由f (x)＝x3－2x＋ex－，
得f (－x)＝－x3＋2x＋－ex＝－f (x)，
所以f (x)是R上的奇函数，
又f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2，
当且仅当x＝0时取等号，
所以f′(x)≥0，所以f (x)在其定义域内单调递增，
所以不等式f (a－1)＋f (2a2)≤0⇔f (a－1)≤－f (2a2)＝f (－2a2)⇔a－1≤－2a2，
解得－1≤a≤，故实数a的取值范围是.
(2)若函数f (x)＝x－sin 2x＋asin x在R上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,1] B.
C. D.
答案　C
解析　函数f (x)＝x－sin 2x＋asin x在R上单调递增，
等价于f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝－cos2x＋acos x＋≥0在R上恒成立．
设cos x＝t，则g(t)＝－t2＋at＋≥0在[－1,1]上恒成立，
所以
解得－≤a≤.故选C.


1．函数f (x)＝3＋xln x的单调递减区间是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　因为函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，
令f′(x)<0，解得0 故f (x)的单调递减区间是.
2．函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间上是增函数(　　)
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
答案　B
解析　y′＝－xsin x，
经验证，只有在(π，2π)内y′>0恒成立，
∴y＝xcos x－sin x在(π，2π)上是增函数．
3．函数f (x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D．(－∞，a)
答案　A
解析　由f′(x)＝－a>0，x>0，得0 ∴f (x)的单调递增区间为.
4．函数y＝f (x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是(　　)


答案　D
解析　利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)>0的解集对应y＝f (x)的增区间，f′(x)<0的解集对应y＝f (x)的减区间，验证只有D选项符合．
5.在R上可导的函数f (x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf′(x)<0的解集为(　　)

A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1,2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案　A
解析　在(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f (x)单调递增，
所以f′(x)>0，使xf′(x)<0的范围为(－∞，－1)；
在(－1,1)上，f (x)单调递减，所以f′(x)<0，使xf′(x)<0的范围为(0,1)．
综上，关于x的不等式xf′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
6．若0 A．>ln x2－ln x1 B． C． D．
答案　C
解析　设f (x)＝，则f′(x)＝＝.
当0 ∵0 即，∴，故选C.
7．已知函数f (x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k>0)．
(1)若f (x)的单调递减区间是(0,4)，则实数k的值为________；
(2)若f (x)在(0,4)上为减函数，则实数k的取值范围是________．
答案　(1)　(2)
解析　(1)f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，
由题意知f′(4)＝0，解得k＝.
(2)由f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x≤0(k>0)，
并结合导函数的图象可知，必有－≥4，
解得k≤，故0 8．(2020·西安八校联考)函数f (x)在定义域R内可导，若f (x)＝f (2－x)，且(x－1)f′(x)<0，若a＝f (0)，b＝f ，c＝f (3)，则a，b，c的大小关系是________．
答案　b>a>c
解析　由已知可得f (x)的图象关于直线x＝1对称，
且f (x)在(－∞，1)上是增函数，∴a 又f (3)＝f (－1)，∴a>c，∴b>a>c.
9．若函数f (x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是______．
答案　
解析　对f (x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a
＝－2＋＋2a.
由题意知，f′(x)>0在上有解，
当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.
令＋2a>0，解得a>－，
所以a的取值范围是.
10．设函数f′(x)是奇函数f (x)(x∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f (x)<0，则使得f (x)>0成立的x的取值范围是____________．
答案　(－∞，－1)∪(0,1)
解析　因为f (x)(x∈R)为奇函数，f (－1)＝0，
所以f (1)＝－f (－1)＝0.
当x＝0时，f (x)＝0；当x≠0时，令g(x)＝，
则g(x)为偶函数，g(1)＝g(－1)＝0.
则当x>0时，g′(x)＝′＝<0，
故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．
所以在(0，＋∞)上，当0g(1)＝0，
得>0，所以f (x)>0；在(－∞，0)上，当x<－1时，由g(x)0.
综上知，使得f (x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．
11．已知函数f (x)＝(k为常数)，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与x轴平行．
(1)求实数k的值；
(2)求函数f (x)的单调区间．
解　(1)f′(x)＝(x>0)．
又由题意知f′(1)＝＝0，所以k＝1.
(2)f′(x)＝(x>0)．
设h(x)＝－ln x－1(x>0)，
则h′(x)＝－－<0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
由h(1)＝0知，当00，所以f′(x)>0；
当x>1时，h(x)<0，所以f′(x)<0.
综上，f (x)的单调递增区间是(0,1)，
单调递减区间是(1，＋∞)．
12．讨论函数f (x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性．
解　f (x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＝.
①当a≥1时，f′(x)>0，故f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当a≤0时，f′(x)<0，故f (x)在(0，＋∞)上单调递减；
③当0 f′(x)>0，故f (x)在上单调递减，在上单调递增．
综上，当a≥1时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤0时，f (x)在(0，＋∞)上单调递减；当0
13．(2020·安徽毛坦厂中学模拟)已知函数f (x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)上不单调，则实数t的取值范围是________．
答案　(0,1)
解析　∵函数f (x)＝－x2－3x＋4ln x(x>0)，
∴f′(x)＝－x－3＋，
∵函数f (x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)上不单调，
∴f′(x)＝－x－3＋在(t，t＋1)上有变号零点，
∴＝0在(t，t＋1)上有解，
∴x2＋3x－4＝0在(t，t＋1)上有解，
由x2＋3x－4＝0得x＝1或x＝－4(舍去)，
∴1∈(t，t＋1)，∴t∈(0,1)，
故实数t的取值范围是(0,1)．
14．已知函数f (x)(x∈R)满足f (1)＝1，f (x)的导数f′(x)<，则不等式f (x2)<＋的解集为____________．
答案　{x|x<－1或x>1}
解析　设F(x)＝f (x)－x，∴F′(x)＝f′(x)－，
∵f′(x)<，∴F′(x)＝f′(x)－<0，
即函数F(x)在R上单调递减．
∵f (x2)<＋，∴f (x2)－ ∴F(x2) ∴x2>1，即不等式的解集为{x|x<－1或x>1}．

15．定义在区间(0，＋∞)上的函数y＝f (x)使不等式2f (x) A．8<<16 B．4<<8
C．3<<4 D．2<<3
答案　B
解析　∵xf′(x)－2f (x)>0，x>0，
∴′＝＝>0，
令g(x)＝，
∴g(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，
∴g(2)>g(1)，即>，
又由2f (x)<3f (x)，得f (x)>0，即>4.
∵xf′(x)－3f (x)<0，x>0，
∴′＝＝<0，
令h(x)＝，
∴h(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，
∴h(2) 综上，4<<8.
16．已知函数f (x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)若函数y＝f (x)的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t,3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围．
解　(1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，
当a>0时，f (x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1，＋∞)；
当a<0时，f (x)的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0,1)；
当a＝0时，f (x)为常函数．
(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，
∴f (x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝(x>0)．
∴g(x)＝x3＋x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，
即g′(x)在区间(t,3)上有变号零点．
由于g′(0)＝－2，∴
当g′(t)<0时，即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1,2]恒成立，
由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0，
即m<－5且m<－9，即m<－9，
由g′(3)>0，即m>－.
∴－ 即实数m的取值范围是.