2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第四章4.3简单的三角恒等变换第2课时

第2课时　简单的三角恒等变换三角函数式的化简1.化简：＝________.答案　cos 2x解析　原式＝＝＝＝＝cos 2x.2.当π<α<2π时，化简：＝________.答案　cos α解析　原式＝＝＝.∵π<α<2π，∴<<π.∴cos <0.∴原式＝＝cos α.3.化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝________.答案　解析　方法一(从“角”入手，化复角为单角)原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.方法二(从“名”入手，化异名为同名)原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos 2αcos 2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2αcos 2β＝cos2β－sin2αcos 2β－cos 2αcos 2β＝cos2β－cos 2β＝－cos 2β＝.4.化简：－2cos(α＋β).解　原式＝＝＝＝＝＝.思维升华　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点. 三角函数的求值命题点1　给角求值例1　(1)cos ·cos ·cos＝________.答案　－解析　cos ·cos ·cos＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－＝－＝－＝－＝－＝－.(2)＝________.答案　解析　＝＝＝＝. 命题点2　给值求值例2　(1)已知cos＝，θ∈，则sin＝________.答案　解析　由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝.因为cos＝>0，θ∈，所以0<θ<，2θ∈，根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，由两角差的正弦公式，可得sin＝sin 2θcos －cos 2θsin ＝×－×＝.(2)若cos＝，π<x<π，则＝________.答案　－解析　∵<x<，∴<＋x<2π.又cos＝，∴sin＝－，∴cos x＝cos＝coscos ＋sinsin ＝－.∴sin x＝－，tan x＝7.∴＝＝＝－.   命题点3　给值求角例3　已知α，β为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________.答案　　解析　因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.又因为α，β为锐角，sin β＝，所以sin α＝，cos β＝，因此sin 2α＝2sin αcos α＝，所以sin(2α－β)＝×－×＝.因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos 2α>0，所以0<2α<，又β为锐角，所以－<2α－β<，又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.思维升华　(1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法.(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角.跟踪训练　(1)cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于(　　)A.  B.  C.  D.1＋答案　C解析　原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝.(2)已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝________.答案　解析　∵α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，又∵α∈，sin α＋cos α>0，∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，∴cos α＝，sin α＝，∴＝＝＝.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.答案　－解析　∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<.又∵tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.1.计算：等于(　　)A.  B.  C.  D.－答案　A解析　＝＝＝.2.若sin＝，则cos 等于(　　)A.－  B.－  C.  D.答案　A解析　cos＝cos＝－cos＝－＝－＝－.3.已知sin＝cos，则cos 2α等于(　　)A.1   B.－1C.   D.0答案　D解析　因为sin＝cos，所以cos α－sin α＝cos α－sin α，可得sin α＝－cos α，∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝0.4.4cos 50°－tan 40°等于(　　)A.  B.  C.  D.2－1答案　C解析　4cos 50°－tan 40°＝＝＝＝＝＝.故选C.5.计算的值为(　　)A.－2   B.2C.－1   D.1答案　D解析　＝＝＝＝＝＝1.6.设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)A.3α－β＝   B.2α－β＝C.3α＋β＝   D.2α＋β＝答案　B解析　因为tan α＝，所以＝，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝sin，又α，β均为锐角，且y＝sin x在上单调递增，所以α－β＝－α，即2α－β＝，故选B.7.计算：＝____________.答案　2解析　＝＝＝2.8.若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ等于__________.答案　解析　因为θ∈，所以2θ∈，cos 2θ≤0，所以cos 2θ＝－＝－.又因为cos 2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，sin θ＝.9.化简：·＝_________.答案　－4解析　原式＝·＝·＝－4·tan(45°＋15°)＝－4.10.(2019·淄博模拟)已知tan＝3，则sin 2θ－2cos2θ＝________.答案　－解析　tan＝3，＝3，解得tan θ＝，sin 2θ－2cos2θ＝＝＝－.11.已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值.解　由cos β＝，β∈，得sin β＝，tan β＝2.所以tan(α＋β)＝＝＝1.因为α∈，β∈，所以<α＋β<，所以α＋β＝.12.已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.(1)求sin 2β的值；(2)求cos的值.解　(1)方法一　因为cos＝cos cos β＋sin sin β＝cos β＋sin β＝，所以cos β＋sin β＝，所以1＋sin 2β＝，所以sin 2β＝－.方法二　sin 2β＝cos＝2cos2－1＝－.(2)因为0<α<<β<π，所以<β－<π，<α＋β<.所以sin>0，cos(α＋β)<0，因为cos＝，sin(α＋β)＝，所以sin＝，cos(α＋β)＝－.所以cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝.13.(2019·福建省百校联考)若α∈(0，π)，且sin α＋2cos α＝2，则tan 等于(　　)A.   B.C.   D.答案　A解析　由已知得cos α＝1－sin α.代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋2＝1，整理得sin2α－sin α＝0，解得sin α＝0或sin α＝.因为α∈(0，π)，所以sin α＝，故cos α＝1－×＝.所以tan ＝＝＝.14.定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝________.答案　解析　由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos(α－β)＝＝，又cos α＝，∴sin α＝，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.又0<β<，故β＝.15.(2019·湖北省冲刺卷)已知α为锐角，β为第二象限角，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝，则sin(3α－β)等于(　　)A.－   B.C.－   D.答案　B解析　因为α为锐角，β为第二象限角，cos(α－β)>0，sin(α＋β)>0，所以α－β为第四象限角，α＋β为第二象限角，所以sin(α－β)＝－，cos(α＋β)＝－，所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝－×＋×＝1.因为α为锐角，所以2α＝，所以sin(3α－β)＝sin(2α＋α－β)＝cos(α－β)＝.16.(2019·江苏泰州中学模拟)已知0<α<<β<π，且sin(α＋β)＝，tan ＝.(1)求cos α的值；(2)证明：sin β>.(1)解　∵tan ＝，∴tan α＝＝＝.∴又α∈，解得cos α＝.(2)证明　由已知得<α＋β<.∵sin(α＋β)＝，∴cos(α＋β)＝－.由(1)可得sin α＝，∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝×－×＝>.