2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第四章4.5函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用

§4.5　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
最新考纲
考情考向分析
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出
y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
2.了解参数A，ω，φ对函数图象的变化的影响.
3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
以考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的五点法画图、平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，加强数形结合思想的应用意识，题型为选择题和填空题，中档难度.


1.简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
x





ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0

3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径.

概念方法微思考
1.怎样从y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象？
提示　向左平移个单位长度.
2.函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是什么？对称中心是什么？
提示　对称轴是直线x＝＋－(k∈Z)，
对称中心是点(k∈Z).

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin的图象可由y＝sin的图象向右平移个单位长度得到.(　√　)
(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可以得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象.
(　×　)
(3)如果函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　√　)
(4)函数y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　×　)
题组二　教材改编
2.为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象向____平移____个单位长度.
答案　右　(答案不唯一)
3.函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为__________________.
答案　2，，－
4.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b,0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__________________________.

答案　y＝10sin＋20，x∈[6,14]
解析　从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数
y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，
所以A＝×(30－10)＝10，
b＝×(30＋10)＝20，
又×＝14－6，
所以ω＝.
又×10＋φ＝2kπ，k∈Z,0<φ<π，所以φ＝，
所以y＝10sin＋20，x∈[6,14].
题组三　易错自纠
5.要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案　A
解析　∵y＝sin＝sin，
∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度.
6.已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则使f (x＋m)－f (m－x)＝0成立的m的最小正值为________.

答案　
解析　由函数图象可知A＝1，又＝－＝，T＝π，
所以ω＝＝2，因为函数图象过点，代入解析式可知sin＝0，所以＋φ＝π＋2kπ，k∈Z.
因为|φ|<，所以＋φ＝π，φ＝，
所以函数解析式为f (x)＝sin，
由＝kπ＋，k∈Z，可得其对称轴x＝＋，k∈Z.
因为f (x＋m)－f (m－x)＝0，即f (x＋m)＝f (m－x)，
所以x＝m是函数的一条对称轴，当k＝0时，m的最小正值为m＝.

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f (x)取得最大值2.
(1)求f (x)的解析式；
(2)作出f (x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(3)函数y＝f (x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
解　(1)因为函数f (x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
又因为当x＝时，f (x)取得最大值2.所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，
因为－<φ<，所以φ＝，
所以f (x)＝2sin.
(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下：
2x＋


π

2π

x
0




π
f (x)
1
2
0
－2
0
1

描点、连线得图象：

(3)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f (x)＝2sin的图象.
若将本例中函数f (x)的图象向左平移个单位长度，把所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝____________.
答案　2sin
解析　f (x)向左平移个单位长度后得
y＝2sin＝2sin，
再把所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)得g(x)＝2sin.
若将本例中函数f (x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值.
解　由已知得y＝g(x)＝f (x－m)＝2sin＝2sin是偶函数，
所以2m－＝＋kπ，k∈Z，得m＝＋，k∈Z，
又因为m>0，所以m的最小值为.
思维升华 (1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标.
(2)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
跟踪训练1 (1)为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
答案　C
解析　因为y＝sin 3x＋cos 3x＝cos
＝cos 3，所以将函数y＝cos 3x的图象向右平移个单位长度后，可得到y＝cos的图象，故选C.
(2)将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为(　　)
A.x＝ B.x＝
C.x＝ D.x＝π
答案　A
解析　将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)时，得到函数y＝cos的图象；再将此函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝cos＝cos的图象，该函数图象的对称轴满足－＝kπ(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z).结合选项，只有A符合，故选A.
(3)已知函数f (x)＝sin(0<ω<2)满足条件f＝0，为了得到函数y＝f (x)的图象，可将函数g(x)＝cos ωx的图象向右平移m(m>0)个单位长度，则m的最小值为(　　)
A.1 B. C. D.
答案　A
解析　由题意得sin＝0，
即－ω＋＝kπ(k∈Z)，
则ω＝－2kπ(k∈Z)，
结合0<ω<2，得ω＝，
所以f (x)＝sin＝cos＝cos，
所以只需将函数g(x)＝cos x的图象向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y＝f (x)的图象，故选A.
由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
1.函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.

答案　2　
解析　设f (x)的最小正周期为T，
由题中图象可知T＝－得T＝π，
则ω＝＝＝2，又图象过点，
则f ＝2，即2sin＝2，则sin＝1.
∵<φ<，∴<φ＋<，
∴＋φ＝，∴φ＝.
2.已知函数f (x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f ＝，则f＝________.

答案　
解析　方法一　设f (x)的最小正周期为T，
由题图可知＝－＝，
所以T＝，ω＝3，
当x＝时，y＝0，
即3×＋φ＝2kπ－，k∈Z，
所以φ＝2kπ－，k∈Z，
因为|φ|<，所以k＝1，φ＝，
所以f (x)＝Acos.
又f ＝Acos＝，所以A＝，
所以f (x)＝cos，
故f ＝cos＝.
方法二　同方法一得f (x)的周期T＝，
所以f ＝f ＝f ＝－.
3.已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的集合为________.

答案　
解析　方法一　根据题干所给图象，周期T＝4×＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f (x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点，代入有2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，
再由|φ|<，得φ＝－，∴f (x)＝sin，
∴f ＝sin，
当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f 取得最小值.
方法二　同方法一知，T＝π，
又由图象可知当x＝－＝时，f (x)取最小值.
∴y＝f (x)取得最小值时x的集合为
，
∴y＝f 取得最小值时x的集合为
.
思维升华 y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.

三角函数图象、性质的综合应用
命题点1　图象与性质的综合应用
例2 (1)函数f (x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是________.
答案　1
解析　依题意得，函数f ＝sin(ω>0)的图象过点，
于是有f ＝sin
＝sin ωπ＝0(ω>0)，
ωπ＝kπ，k∈N，即ω＝k∈N，因此正数ω的最小值是1.
(2)函数f (x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f (x)的单调递增区间为_______.

答案　[8k－3,8k＋1]，k∈Z
解析　由题图知其最小正周期T＝4×(3－1)＝8.
结合图象易知[－3,1]为函数f (x)＝sin(ωx＋φ)的一个单调递增区间，故f (x)的单调递增区间为[8k－3,8k＋1]，k∈Z.
命题点2　函数零点(方程根)问题
例3 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________.
答案　(－2，－1)
解析　方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为
m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，x∈.
设2x＋＝t，则t∈，
∴题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根.
∴y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：

由图象观察知，的取值范围是，
故m的取值范围是(－2，－1).
本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________.
答案　[－2,1)
解析　同例题知，的取值范围是，
∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1).
命题点3　三角函数模型
例4 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低，为5千元，则7月份的出厂价格为______元.
答案　6 000
解析　作出函数简图如图：

三角函数模型为y＝Asin(ωx＋φ)＋B，
由题意知A＝(9 000－5 000)＝2 000，B＝7 000，
周期T＝2×(9－3)＝12，
∴ω＝＝.
将(3,9 000)看成“五点法”作函数图象时的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，∴φ＝0，
故f (x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*).
∴f (7)＝2 000×sin ＋7 000＝6 000(元).
故7月份的出厂价格为6 000元.
思维升华 (1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
跟踪训练2 (1)　(2019·沈阳模拟)将函数f (x)＝2sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象.若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为(　　)
A.3 B.2
C. D.
答案　C
解析　函数f (x)＝2sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度，可得g(x)＝2sin＝2sin ωx的图象.若g(x)在上为增函数，则＋2kπ≤且≤＋2kπ，k∈Z，解得ω≤3－12k且ω≤＋6k，k∈Z，∵ω>0，∴当k＝0时，ω取最大值，故选C.
(2)若函数f (x)＝sin(ω>0)满足f (0)＝f ，且函数在上有且只有一个零点，则f (x)的最小正周期为________.
答案　π
解析　∵f (0)＝f ，∴x＝是f (x)图象的一条对称轴，∴f ＝±1，∴×ω＋＝＋kπ，k∈Z，
∴ω＝6k＋2，k∈Z，∴T＝(k∈Z).
又f (x)在上有且只有一个零点，
∴<≤－，∴ ∴<≤(T>0)，∴－≤k<，
又∵k∈Z，∴k＝0，∴T＝π.

1.函数y＝sin在区间上的简图是(　　)


答案　A
解析　令x＝0得y＝sin＝－，排除B，D项，由f＝0，f＝0，排除C项，故选A.
2.为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
答案　B
解析　y＝sin＝sin 2，故将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin的图象.
3.(2020·宁德模拟)将函数y＝3sin的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　将函数y＝3sin的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，可得函数y＝3sin＝3sin的图象，由2x－＝kπ，k∈Z，可得x＝＋，k∈Z.故所得函数图象的对称中心为，k∈Z.令k＝1可得一个对称中心为.故选A.
4.将函数f (x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f (x)在上的最小值为(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案　A
解析　将函数f (x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度得到y＝sin＝sin的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则＋φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝－，即f (x)＝sin.当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝－，即x＝0时，f (x)取得最小值，最小值为－.
5.若把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是(　　)
A.2 B. C. D.
答案　A
解析　y＝sin和函数y＝cos ωx的图象重合，可得π－＝＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.∴ω的一个可能值是2.
6.(2019·安徽省合肥市一中、合肥六中联考)已知函数f (x)＝sin 2x－2cos2x＋1，将f (x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若g(x1)·g(x2)＝9，则|x1－x2|的值可能为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　函数f (x)＝sin 2x－2cos2x＋1
＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
变换后得函数y＝g(x)＝2sin＋1的图象，易知函数y＝g(x)的值域为[－1,3].
若g(x1)·g(x2)＝9，则g(x1)＝3且g(x2)＝3，均为函数y＝g(x)的最大值，
∴|x1－x2|的值为函数y＝g(x)的最小正周期T的整数倍，且T＝＝.
7.(2019·长沙联考)把函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的解析式为____________.
答案　y＝cos x
解析　把函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得函数y＝sin 2＝sin＝cos 2x的图象，再把y＝cos 2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝cos x的图象.
8.把函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)在区间上的值域为________.
答案　
解析　易知g(x)＝sin＝－cos 2x，
∵x∈，
∴2x∈，∴－cos 2x∈，
∴g(x)在区间上的值域为.
9.已知函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________.

答案　
解析　由题图知＝2×＝，
所以ω＝2.
因为2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
所以φ＝kπ＋(k∈Z)，
又|φ|<，所以φ＝，
这时f (x)＝Atan.
又函数图象过点(0,1)，代入上式得A＝1，所以f (x)＝tan.所以f＝tan＝.
10.已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，又x1，x2∈，且f (x1)＝f (x2)，则f (x1＋x2)＝________.

答案　
解析　设f (x)周期为T，
由题图可知，＝－＝，
则T＝π，ω＝2，又＝，
所以f (x)的图象过点，
即sin＝1，
所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，可得φ＝，所以f (x)＝sin.
由f (x1)＝f (x2)，x1，x2∈，
可得x1＋x2＝－＋＝，
所以f (x1＋x2)＝f ＝sin
＝sin ＝.
11.(2020·黄岗中学模拟)已知函数f (x)＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx(ω>0)，且f (x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数f (x)的单调递减区间；
(2)将函数f (x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈时，函数g(x)的最大值.
解　(1)由题意知f (x)＝sin 2ωx＋1＋cos 2ωx＝2sin＋1，
∵周期T＝π，＝π，∴ω＝1，
∴f (x)＝2sin＋1，
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数f (x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)∵g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1，
当x∈时，≤2x－≤，
∴当2x－＝，即x＝时，g(x)max＝2×1＋1＝3.
12.(2019·湖北七校联考)已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中点P(1,2)为函数f (x)图象的一个最高点，Q(4,0)为函数f (x)的图象与x轴的一个交点，O为坐标原点.

(1)求函数f (x)的解析式；
(2)将函数y＝f (x)的图象向右平移2个单位长度得到y＝g(x)的图象，求函数h(x)＝f (x)·g(x)的图象的对称中心.
解　(1)由题意得A＝2，周期T＝4×(4－1)＝12.
又∵＝12，∴ω＝.
将点P(1,2)代入f (x)＝2sin，得sin＝1.
∵0<φ<，∴φ＝，∴f (x)＝2sin.
(2)由题意，得g(x)＝2sin＝2sin x.
∴h(x)＝f (x)·g(x)＝4sin·sin x＝2sin2 x＋2·sin x·cos x＝1－cos x＋sin x＝1＋2sin.
由x－＝kπ(k∈Z)，得x＝3k＋(k∈Z).
∴函数y＝h(x)的图象的对称中心为(k∈Z).

13.已知函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f (x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f (x)的最小正周期为________.
答案　π
解析　f (x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ω>0).
由2sin＝1，得sin＝，
∴ωx1＋＝2kπ＋或ωx2＋＝2kπ＋(k∈Z).
令k＝0，得ωx1＋＝，ωx2＋＝，
∴x1＝0，x2＝.
由|x1－x2|＝，得＝，∴ω＝2.
故f (x)的最小正周期T＝＝π.
14.已知函数f (x)＝2cos(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，若f (x)>1对任意x∈恒成立，则φ的取值范围是____________.
答案　
解析　由题意可得函数f (x)＝2cos(ωx＋φ)＋1的最大值为3.∵f (x)的图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，∴f (x)的周期T＝，∴＝，解得ω＝3，∴f (x)＝2cos(3x＋φ)＋1.∵f (x)>1对任意x∈恒成立，∴2cos(3x＋φ)＋1>1，即cos(3x＋φ)>0对任意x∈恒成立，∴－＋φ≥2kπ－且＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得φ≥2kπ－且φ≤2kπ，k∈Z，即2kπ－≤φ≤2kπ，k∈Z.结合|φ|<可得，φ的取值范围为.

15.(2019·全国Ⅲ)设函数f (x)＝sin(ω>0)，已知f (x)在[0,2π]上有且仅有5个零点.下述四个结论：
①f (x)在(0,2π)上有且仅有3个极大值点；
②f (x)在(0,2π)上有且仅有2个极小值点；
③f (x)在上单调递增；
④ω的取值范围是.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④
答案　D
解析　如图，根据题意知，xA≤2π
16.(2019·济南模拟)已知函数f (x)＝sin＋＋b.
(1)若函数f (x)的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0,3]，求函数f (x)的单调递增区间；
(2)在(1)的条件下，当x∈时，函数f (x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围.
解　(1)∵函数f (x)＝sin＋＋b，
且函数f (x)的图象关于直线x＝对称，
∴2ω·＋＝kπ＋(k∈Z)，且ω∈[0,3]，
∴ω＝1.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f (x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)由(1)知f (x)＝sin＋＋b.
∵x∈，∴2x＋∈.
当2x＋∈，即x∈时，函数f (x)单调递增；当2x＋∈，即x∈时，函数f (x)单调递减.
又f (0)＝f ，∴当f >0≥f 或f ＝0时，函数f (x)有且只有一个零点，
即sin ≤－b－ ∴b∈∪.
故实数b的取值范围为∪.