2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第五章5.3平面向量的数量积

§5.3　平面向量的数量积

最新考纲
考情考向分析
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.



1.向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].
2.平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积

3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

结论
符号表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤

概念方法微思考
1.a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？
提示　不相同.因为a在b方向上的投影为|a|cos θ，而b在a方向上的投影为|b|cos θ，其中θ为a与b的夹角.
2.两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？
提示　不一定.当夹角为0°时，数量积也大于0.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.(　√　)
(2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)
(3)(a·b)c＝a(b·c).(　×　)
(4)若a·b0，n>0，
则由·＝2·，
得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，
所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.
故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.
思维升华 平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
跟踪训练1　(1)在正三角形ABC中，D是BC上的点，若AB＝3，BD＝1，则·＝________.
答案　
解析　如图所示，·＝·(＋)＝9＋3×cos 120°＝.

(2)已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足＝2，则·等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
答案　D
解析　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

则B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，
又＝2，∴Q，
∴＝，＝，
∴·＝＋1＝.故选D.
平面向量数量积的应用
命题点1　求向量的模
例2　(1)(2020·遵义统考)已知两个单位向量a和b的夹角为120°，k∈R，则|ka＋b|的最小值为(　　)
A. B. C.1 D.
答案　B
解析　|ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2
因为a和b是单位向量，且夹角为120°，
所以|ka＋b|2＝k2a2＋2ka·b＋b2
＝k2|a|2＋2k|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2
＝k2－k＋1
＝2＋≥，
所以|ka＋b|≥，
所以|ka＋b|的最小值为.
(2)(2020·四川双流中学诊断)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________.

答案　
解析　∵M为BC的中点，
∴＝(＋)，
∴||2＝(＋)2
＝(||2＋||2＋2·)
＝(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝，
∴||＝.
命题点2　求向量的夹角
例3　(1)(2020·昆明一中检测)已知向量a＝，|b|＝2，且a·b＝1，则a与b的夹角为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案　C
解析　|a|＝＝1，
∴cos〈a，b〉＝＝，
∴a与b的夹角为60°.
(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量.若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________.
答案　
解析　由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
|e1－e2|＝
＝
＝＝2.
同理|e1＋λe2|＝.
所以cos 60°＝
＝
＝＝，
解得λ＝.
思维升华 (1)求解平面向量模的方法
①利用公式|a|＝.
②利用|a|＝.
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π].
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.
跟踪训练2　(1)(2019·江西省临川一中模拟)已知向量a＝(3,4)，b＝(－1，k)，且a⊥b，则a＋4b与a的夹角为________.
答案　
解析　因为a⊥b，故a·b＝0，所以－3＋4k＝0，
故k＝，故a＋4b＝(－1,7)，
设a＋4b与a的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
因θ∈[0，π]，故θ＝.
(2)(2019·日照模拟) 已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝2，〈a，b〉＝，(c－a)·(c－b)＝－1，则|c－a|的最大值为________.
答案　＋1
解析　设＝a，＝b，＝c，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，
∵|a|＝4，|b|＝2，a与b的夹角为，
则A(4,0)，B(2,2)，设C(x，y)，
∵(c－a)·(c－b)＝－1，∴x2＋y2－6x－2y＋9＝0，
即(x－3)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，|c－a|表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离，因为圆心到A的距离为，
所以|c－a|的最大值为＋1.
平面向量与三角函数、解三角形
例4　(2019·石家庄模拟)已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，f (x)＝a·b.
(1)求函数f (x)＝a·b的最小正周期；
(2)在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若f (A)＝1，求△ABC的周长.
解　(1)f (x)＝sin xcos x＋cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋，
f (x)＝sin＋，
所以f (x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由题意可得sin＝，
又0