2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第九章9.5椭　圆第1课时

§9.5　椭　圆
最新考纲
考情考向分析
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
3.能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解的问题，会根据根与系数的关系及判别式解决问题.
在高考中椭圆出现的次数最多，主要考查椭圆的定义、性质、方程，在解答题中多与直线、向量、轨迹等综合出现.



1.椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c为常数.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形


性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2

概念方法微思考
1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？
提示　当2a＝|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的.
2.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
提示　由e＝＝知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.(　√　)
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).(　√　)
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(　√　)
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等.(　√　)
题组二　教材改编
2.椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　　)
A.4 B.8　C.4或8 D.12
答案　C
解析　当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.
∴m＝4或8.
3.过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　由题意知c2＝5，可设椭圆方程为＋＝1(λ>0)，则＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
4.已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________.
答案　或
解析　设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0).
由题意可得点P到x轴的距离为1，
所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，
得x＝±，又x>0，所以x＝，
所以P点坐标为或.
题组三　易错自纠
5.若方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是(　　)
A.(－3，5)
B.(－5，3)
C.(－3，1)∪(1，5)
D.(－5，1)∪(1，3)
答案　C
解析　由方程表示椭圆知
解得－3 6.已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为________.
答案　3或
解析　若a2＝5，b2＝m，则c＝，
由＝，即＝，解得m＝3.
若a2＝m，b2＝5，则c＝.
由＝，即＝，解得m＝.


第1课时　椭圆及其性质
椭圆的定义及其应用
1.(2019·河北保定模拟)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________.
答案　＋＝1
解析　设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|＝6，即P在以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1.
2.如图，△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________.

答案　4
解析　∵a2＝3，∴a＝.
△ABC的周长为|AC|＋|AB|＋|BC|＝|AC|＋|CF2|＋|AB|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a＝4.
3.设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________.
答案　
解析　由题意知，c＝.又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2，∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
∴|F1P|·|PF2|＝，∴＝|F1P|·|PF2|sin 60°＝××＝.
4.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________.
答案　6＋　6－
解析　椭圆方程化为＋＝1，
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，
∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，
∴|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.
思维升华　椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
椭圆的标准方程
命题点1　定义法
例1　(1)(2020·湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的周长为8，则椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1　C.＋y2＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　如图，由椭圆的定义可知，△F1AB的周长为4a，

∴4a＝8，a＝2，又离心率为，
∴c＝1，b2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.
(2)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，

令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.
由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，
故|F2A|＝a＝|F1A|，
则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.
令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.
在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，
因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.
又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，
椭圆C的方程为＋＝1，故选B.
命题点2　待定系数法
例2　(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为__________.
答案　＋＝1
解析　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).
由
解得m＝，n＝.
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.
答案　＋＝1
解析　方法一　(待定系数法)：设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，将点(，－)的坐标代入可得＋＝1，解得k＝5(k＝21 舍去)，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　(定义法)：椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
思维升华　(1)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.
(2)椭圆的标准方程的两个应用
①方程＋＝1与＋＝λ(λ>0)有相同的离心率.
②与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)恰当运用椭圆系方程，可使运算简便.
跟踪训练1　(1)(2019·福建泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1　C.＋＝1 D.＋＝1
答案　C
解析　设|MF1|＝m，|MF2|＝n，∵MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2，
∴m2＋n2＝20，mn＝8，
∴(m＋n)2＝36，∴m＋n＝2a＝6，∴a＝3.
∵c＝，∴b＝＝2.
∴椭圆的方程是＋＝1.
(2)与椭圆＋＝1有相同离心率且经过点(2，－)的椭圆标准方程为________.
答案　＋＝1或＋＝1
解析　方法一　∵e＝＝＝＝＝，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝1(m>n>0)，则1－2＝.从而2＝，＝.
又＋＝1，∴m2＝8，n2＝6.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的方程为＋＝1(m>n>0)，
则＋＝1，且＝，解得m2＝，n2＝.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝t(t>0)，
将点(2，－)代入，得t＝＋＝2.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设方程为＋＝λ(λ>0)代入点(2，－)，得λ＝，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
椭圆的几何性质
命题点1　离心率
例3　(1)(2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　如图，作PB⊥x轴于点B.

由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，
由∠F1F2P＝120°，
可得|PB|＝，|BF2|＝1，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝＝＝，
解得a＝4，所以e＝＝.
(2)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，

因为|OB|＝a，所以|OA|＝a，
所以点A的坐标为，
又点A在椭圆上，所以＋＝1，所以a2＝3b2，
所以a2＝3(a2－c2)，所以3c2＝2a2，
所以椭圆的离心率e＝＝.
(3)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________.
答案　
解析　若存在点P，则圆x2＋y2＝c2与椭圆有公共点，
则∠F1BF2≥90°(B为短轴端点)，
即b≤c ∴a2－c2≤c2，
∴a2≤2c2，
∴≤e<1.
命题点2　与椭圆有关的范围(最值)
例4　(1)已知椭圆＋＝1(0 答案　
解析　由椭圆的方程可知a＝2，
由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，
所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，
当AB垂直于x轴时|AB|有最小值，则＝3.
所以b2＝3，即b＝.
(2)(2017·全国Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，]∪[4，＋∞)
答案　A
解析　方法一　设焦点在x轴上，点M(x，y).
过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，
则N(x，0).
故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝＝.
又tan∠AMB＝tan 120°＝－，
且由＋＝1，可得x2＝3－，
则＝＝－.
解得|y|＝.
又0<|y|≤，即0<≤，
结合0 对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.
则m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).
故选A.
方法二　当0 要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，
解得0 当m>3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞).
故选A.
思维升华　(1)求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
①直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解.
②由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解.
③构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路
①将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.
②将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围.
跟踪训练2　(1)(2019·温州模拟)正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设正方形的边长为2m，
∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m>c.
又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，
∴＋＝1>＋＝e2＋，
整理得e4－3e2＋1>0，e2<＝，
∴0 (2)(2018·浙江)已知点P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大.
答案　5
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，
得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2，
因为点A，B在椭圆上，
所以得y2＝m＋，
所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，
所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.


1.(2020·长沙雅礼中学模拟)“2 A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　若方程＋＝1表示椭圆，
则解得2 所以2 2.(2019·北京)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　　)
A.a2＝2b2 B.3a2＝4b2　C.a＝2b D.3a＝4b
答案　B
解析　由题意，得＝，∴＝，又a2＝b2＋c2，
∴＝，＝，∴4b2＝3a2.故选B.
3.若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.　C. D.
答案　C
解析　依题意可知，c＝b，
又a＝＝c，∴椭圆的离心率e＝＝.
4.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1　C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　由题意知2a＝6，2c＝×6，所以a＝3，c＝1，则b＝＝2，所以此椭圆的标准方程为＋＝1.
5.(2020·湖北八市重点高中联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过点F作圆x2＋y2＝b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　如图，由题意可得，b＝c，则2b2＝c2，

即2(a2－c2)＝c2，则2a2＝3c2，∴＝，即e＝＝.
6.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为(　　)
A.－1 B.2－　C. D.
答案　A
解析　∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，
∵|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝c，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，
∴椭圆的离心率e＝＝－1.
7.(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B.　C. D.
答案　D
解析　设P，F1(－c，0)，F2(c，0)，由线段PF1的中垂线过点F2得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，得m2＝4c2－2＝－＋2a2＋3c2≥0，即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，又0 8.焦距是8，离心率等于的椭圆的标准方程为________________.
答案　＋＝1或＋＝1
解析　由题意知解得
又b2＝a2－c2，∴b2＝9，
当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1，
当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1.
9.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F1，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为________.
答案　
解析　设线段PF1的中点为M，另一个焦点为F2，由题意知，|OM|＝b，又OM是△F2PF1的中位线，∴|OM|＝|PF2|＝b，|PF2|＝2b，由椭圆的定义知|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2b.

又|MF1|＝|PF1|＝(2a－2b)＝a－b，
又|OF1|＝c，在Rt△OMF1中，由勾股定理得(a－b)2＋b2＝c2，
又a2－b2＝c2，可得2a＝3b，
故有4a2＝9b2＝9(a2－c2)，
所以所求椭圆的离心率e＝＝.
10.(2018·阜阳模拟)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是________.
答案　
解析　∵F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，
∴离心率0 由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x－c，y)＝0，化简得x2＋y2＝c2.
联立方程组
整理得x2＝(2c2－a2)·≥0，解得e≥.
又0 11.已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点.求点M的轨迹方程.
解　由题意得F1(－1，0)，F2(1，0)，圆F1的半径为4，
且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2|，
所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，
所以点M的轨迹方程为＋＝1.
12.如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.

(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程.
解　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，
由＝2，得解得x＝，y＝－.
代入＋＝1，得＋＝1.
即＋＝1，解得a2＝3.
所以椭圆方程为＋＝1.

13.在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
答案　A
解析　∵椭圆的方程为＋＝1.
∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，
∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0，1)，如图所示，

根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|＝4，
∴|PB|＝4－|PC|，
∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5.
14.(2019·浙江)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________.
答案　
解析　如图，左焦点F(－2，0)，右焦点F′(2，0).

线段PF的中点M在以O(0，0)为圆心，2为半径的圆上，
因此|OM|＝2.
在△FF′P中，OM綊PF′，
所以|PF′|＝4.
根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝6，
所以|PF|＝2.
又因为|FF′|＝4，
所以在Rt△MFF′中，
tan∠PFF′＝＝＝，
即直线PF的斜率是.

15.(2019·临川一中模拟)设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c，0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(　　)
A.必在圆x2＋y2＝2内
B.必在圆x2＋y2＝2上
C.必在圆x2＋y2＝2外
D.以上三种情形都有可能
答案　A
解析　∵椭圆的离心率e＝＝，
∴c＝a，b＝＝a，
∴ax2＋bx－c＝ax2＋ax－a＝0，
∵a≠0，
∴x2＋x－＝0，
又该方程的两个实根分别为x1和x2，
x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1<2.
∴点P在圆x2＋y2＝2的内部.
16.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P使＝，求该椭圆的离心率的取值范围.
解　由＝得＝.
又由正弦定理得＝，
所以＝，即|PF1|＝|PF2|.
又由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝，|PF1|＝，
因为PF2是△PF1F2的一边，
所以有2c－<<2c＋，
即c2＋2ac－a2>0，
所以e2＋2e－1>0(0 故椭圆离心率的取值范围为(－1，1).