2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第九章9.7抛物线

§9.7　抛物线
最新考纲
考情考向分析
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
2.了解抛物线的简单应用.
抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点，题型既有小巧灵活的选择题、填空题，多为中档题，又有综合性较强的解答题.



1.抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点坐标
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点坐标
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
x0＋
－x0＋
y0＋
－y0＋
通径长
2p

概念方法微思考
1.若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？
提示　过点F且与l垂直的直线.
2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？
提示　直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　×　)
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　×　)
(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　√　)
题组二　教材改编
2.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
答案　B
解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
3.若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　)
A.2 B. C. D.3
答案　A
解析　由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.故选A.
4.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________.
答案　y2＝－8x或x2＝－y
解析　设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0).
将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.
题组三　易错自纠
5.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)
A.y2＝±2x B.y2＝±2x
C.y2＝±4x D.y2＝±4x
答案　D
解析　由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0).
设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，
所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.故选D.
6.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________.
答案　[－1,1]
解析　Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k≤1.

抛物线的定义和标准方程
命题点1　定义及应用
例1　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线y2＝4x的焦点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.
答案　4
解析　如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，

则|P1Q|＝|P1F|.
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
本例中的B点坐标改为(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.
答案　2
解析　由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部.
∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，
∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，
即|PB|＋|PF|的最小值为2.
若将本例中的条件改为已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________.
答案　3－1
解析　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).
点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，
所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.
易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，
故d2＋|PF|的最小值为＝3，
所以d1＋d2的最小值为3－1.
命题点2　求标准方程
例2　(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为(　　)
A.x2＝－12y或y2＝16x B.x2＝12y或y2＝－16x
C.x2＝9y或y2＝12x D.x2＝－9y或y2＝－12x
答案　A
解析　对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0).
当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
则＝3，所以p＝6，
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则＝4，所以p＝8，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
(2)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的标准方程为(　　)
A.y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8x
C.y2＝4x或y2＝16x D.y2＝2x或y2＝16x
答案　C
解析　由题意知，F ，抛物线的准线方程为x＝－，则由抛物线的定义知，xM＝5－，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为2＋2＝，又因为圆过点(0,2)，所以yM＝4，又因为点M在C上，所以16＝2p，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝16x，
故选C.
思维升华　(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.
(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
跟踪训练1　(1)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.
答案　
解析　如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，

由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.
于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，
显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，
此时最小值为＝.
(2)(2019·衡水中学调研)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为(　　)
A.y2＝4x
B.y2＝36x
C.y2＝4x或y2＝36x
D.y2＝8x或y2＝32x
答案　C
解析　因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P，则P(x0，±6).
因为P到抛物线的焦点F的距离为10，所以由抛物线的定义得x0＋＝10.①
因为P在抛物线上，所以36＝2px0.②
由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，则抛物线的方程为y2＝4x或y2＝36x.
抛物线的几何性质
例3　(1)过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为(　　)
A. B. C. D.2
答案　A
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为点D，E.
∵|PA|＝|AB|，
∴
又得x1＝，
则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋＝.
(2)(2020·合肥检测)已知双曲线－x2＝1的两条渐近线分别与抛物线y2＝2px(p>0)的准线交于A，B两点.O为坐标原点.若△OAB的面积为1，则p的值为________.
答案　
解析　双曲线的两条渐近线方程为y＝±2x，抛物线的准线方程为x＝－，故A，B两点的坐标为，|AB|＝2p，所以S△AOB＝×2p×＝＝1，解得p＝.
(3)(2020·华中师大附中月考)如图，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB始终平行于x轴，则△ABF的周长的取值范围是________.

答案　(8,12)
解析　设A(xA，yA)，B(xB，yB).
抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2,0)，
由抛物线定义可得|AF|＝xA＋2，
圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为点(2,0)，半径为4，
∴△FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，
由抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2，∴xB∈(2,6)，∴6＋xB∈(8,12).
∴△ABF的周长的取值范围是(8,12).
思维升华　在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
跟踪训练2　(1)(2020·焦作期中)以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线Ω与正方形ABCD有公共点，其中A(2,2)，B(4,2)，C(4,4)，则抛物线Ω的焦点F到准线l的最大距离为(　　)
A. B.4 C.6 D.8
答案　B
解析　由题意可得D(2,4)，设抛物线Ω：x2＝2py，p>0，
要使得抛物线Ω与正方形ABCD有公共点，其临界状态应该是过B或过D，把B，D的坐标分别代入抛物线方程，得42＝2p×2，或22＝2p×4，可得p＝4或p＝，
故抛物线的焦点F到准线l的最大距离为4.
(2)(2020·湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学四校联考)已知点A是抛物线y＝x2的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|PF|＝m|PA|，则m的最小值为________.
答案　
解析　过P作准线的垂线，垂足为N，

则由抛物线的定义可得|PN|＝|PF|，
∵|PF|＝m|PA|，∴|PN|＝m|PA|，则＝m，
设PA的倾斜角为α，则sin α＝m，
当m取得最小值时，sin α最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y＝kx－1，代入x2＝4y，
可得x2＝4(kx－1)，即x2－4kx＋4＝0，
∴Δ＝16k2－16＝0，∴k＝±1，
∴m的最小值为.
直线与抛物线
例4　(2019·全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
解　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)由题设可得F ，
故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，
又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
令Δ>0，得t<，则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－.
所以l的方程为y＝x－，即12x－8y－7＝0.
(2)由＝3可得y1＝－3y2，
由可得y2－2y＋2t＝0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，
代入C的方程得x1＝3，x2＝，
即A(3,3)，B，
故|AB|＝.
思维升华　(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
(4)设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①x1x2＝，y1y2＝－p2.
②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角).
③以弦AB为直径的圆与准线相切.
④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
跟踪训练3　(2020·汉中模拟)已知点M为直线l1：x＝－1上的动点，N(1,0)，过M作直线l1的垂线l，l交MN的中垂线于点P，记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l2：y＝kx＋m(k≠0)与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，求直线l2的方程.
解　(1)由已知可得，|PN|＝|PM|，
即点P到定点N的距离等于它到直线l1的距离，故点P的轨迹是以N为焦点，l1为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，
由得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，
∴x1＋x2＝，
∴x0＝＝，
y0＝kx0＋m＝，即D，
∵直线l2与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，
∴|DE|2＝6，且DE⊥l2，
从而2＋2＝6，kDE·k＝－1，
即
整理可得2＝2，即k＝±，
∴m＝0，
故直线l2的方程为x－y＝0或x＋y＝0.


1.抛物线y＝ax2(a≠0)的准线方程是y＝1，则a的值为(　　)
A. B.－ C.4 D.－4
答案　B
解析　由y＝ax2，变形得x2＝y＝2×y，∴p＝.又抛物线的准线方程是y＝1，∴－＝1，解得a＝－.
2.(2019·包头青山区模拟)已知点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，则点P到抛物线焦点F的距离为(　　)
A.2 B.3 C. D.
答案　B
解析　因为抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，准线为x＝－1，结合定义点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，为3.
3.设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
又焦点F ，所以x1＋x2＋x3＝3×＝，
则||＋||＋||＝＋＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.
4.(2020·惠州调研)已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2＝，则||等于(　　)
A. B. C. D.1
答案　A
解析　由题意得点F的坐标为，
设点M的坐标为(x0，y0)，点N的坐标为(a,0)，
所以＝，＝(a－x0，－y0)，
由2＝可得，
解得y0＝，x0＝a，
代入抛物线方程可得x0＝±，则a＝±，
所以点N的坐标为，
由两点之间的距离公式可得|FN|＝.
5.抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是(　　)
A.4 B.3
C.4 D.8
答案　C
解析　由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，
∵AF的斜率为，∴AF的倾斜角为30°，
∵AH垂直于准线，∴∠FAH＝60°，
故△AHF为等边三角形.设A，m>0，
过F作FM⊥AH于M，
则在Rt△FAM中，|AM|＝|AF|，
∴－1＝，
解得m＝2，故等边三角形AHF的边长|AH|＝4，
∴△AHF的面积是×4×4sin 60°＝4.故选C.
6.(2019·洛阳模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为(　　)
A. B.2 C.2 D.4
答案　A
解析　根据题意，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0).

设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为y＝k(x－1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x，得
y2－y－4＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－4，
则x1＋x2＝＋2＝＋2，
|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＋2＝6，
则k＝±，
|y1－y2|＝＝2，
S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝|OF|·|y1－y2|＝×1×2＝，
∴△AOB的面积为.
7.(2020·晋城模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AA′⊥l，垂足为A′，若四边形AA′PF的面积为14，且cos∠FAA′＝，则抛物线C的方程为(　　)
A.y2＝8x B.y2＝4x
C.y2＝2x D.y2＝x
答案　B
解析　如图所示，过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′，设|AF′|＝3x，因为cos∠FAA′＝，

故|AF|＝5x，|FF′|＝4x，由抛物线定义可知，|AF|＝|AA′|＝5x，
则|A′F′|＝2x＝p，故x＝.
四边形AA′PF的面积S＝＝＝14，
解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x.
8.(2019·潮州模拟)从抛物线y2＝4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|＝5，则△MPF的面积为________.
答案　10
解析　由抛物线的定义可知|PF|＝|PM|＝5，并且点P到准线的距离xP＋1＝5，
∴xP＝4，yP＝±4，
∴S＝×5×4＝10.
9.(2020·江淮十校联考)已知直线l是抛物线y2＝2px(p>0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与l相切，则抛物线的方程为________.
答案　y2＝8x
解析　∵半径为3的圆与抛物线的准线l相切，
∴圆心到准线的距离等于3，
又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，
∴＋＝3，∴p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.
10.已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的的直线与C交于A，B两点.若·＝0，则k＝________.
答案　2
解析　抛物线C的焦点为F(2,0)，
则直线方程为y＝k(x－2)，
与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
则抛物线C与直线必有两个交点.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，
y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.
因为·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)
＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)
＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，
将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，
所以k＝2.
11.一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4.5 m，此车能否通过隧道？说明理由.

解　建立如图所示的平面直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A，B，则A(－3，－3)，B(3，－3).

设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
将B点坐标代入得9＝－2p·(－3)，
所以p＝.
所以抛物线方程为x2＝－3y(－3≤y≤0).
因为车与箱共高4.5 m，
所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m.
设抛物线上点D的坐标为(x0，－0.5)，
则x＝，
所以|x0|＝＝，
所以2|x0|＝<3，故此车不能通过隧道.
12.(2020·湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知点F(0,1)，点A(x，y)(y≥0)为曲线C上的动点，过A作x轴的垂线，垂足为B，满足|AF|＝|AB|＋1.
(1)求曲线C的方程；
(2)直线l与曲线C交于两个不同点P，Q(非原点)，过P，Q两点分别作曲线C的切线，两切线的交点为M，设线段PQ的中点为N，若|FM|＝|FN|，求直线l的斜率.
解　(1)由|AF|＝|AB|＋1，得＝|y|＋1，
化简得曲线C的方程为x2＝4y.
(2)由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝kx＋b，联立x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
设N(xN，yN)，则xN＝＝2k，yN＝2k2＋b，
又曲线C的方程为x2＝4y，即y＝，y′＝，
∴过P点的切线斜率为，切线方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－x.
同理，过Q点的切线方程为y＝x－x，
联立两切线可得交点M的坐标为xM＝＝2k，yM＝x1x2＝－b.
所以xM＝xN，又因为|FM|＝|FN|，
所以MN中点纵坐标为1，即＝1，
k＝±1，故直线l的斜率为k＝±1.

13.长为2的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上滑动，则线段AB的中点M到y轴距离的最小值是________.
答案　
解析　由题意知，2大于抛物线的通径，即AB可以过焦点.设抛物线y2＝x的焦点为F，准线为l，点A，B，M在l上的射影分别为点C，D，N，连接AC，BD，MN，如图.

由梯形的中位线定理，可得|MN|＝(|AC|＋|BD|).
连接AF，BF，根据抛物线的定义得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|.根据平面几何知识，可得|AF|＋|BF|≥|AB|，当且仅当点F在AB上时取等号，
∴|AC|＋|BD|≥|AB|＝2，
∴|MN|＝(|AC|＋|BD|)≥|AB|＝1.
设点M的横坐标为a，抛物线y2＝x的准线方程为x＝－，
则|MN|＝a＋≥1，解得a≥.
因此，当且仅当线段AB为经过抛物线焦点的弦时，AB的中点M到y轴距离的最小值为.
14.过抛物线C：x2＝4y的焦点F作直线l交C于A，B两点，设D(0,3).若(＋)·＝0，则弦AB的长为________.
答案　4
解析　若(＋)·＝0，
则线段AB的垂直平分线过点D.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＝4y1，x＝4y2，
两式相减得x1＋x2＝＝4kAB，
即kAB＝，
则弦AB的中点与点D(0,3)的连线的斜率
k＝＝－，
所以y1＋y2＝2，所以|AB|＝y1＋y2＋2＝4.

15.(2019·全国100所名校联考)已知点P(1,2)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若Rt△PAB内接于该抛物线，且∠A＝90°，则点B的纵坐标的取值范围是________.
答案　(－∞，－6)∪[10，＋∞)
解析　由题意可得抛物线的方程为y2＝4x，设A(x，y)，B(x0，y0)，△PAB的外接圆的方程为
(x－1)(x－x0)＋(y－2)(y－y0)＝0，
所以(4x－4)(4x－4x0)＋16(y－2)(y－y0)＝0，
即(y2－4)(y2－y)＋16(y－2)(y－y0)＝0，
化简可得y0＝－－y＝－－(y＋2)＋2.
令t＝－(y＋2)，且y≠yP，则y0＝－－y＝＋t＋2∈(－∞，－6)∪[10，＋∞).
16.已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜率为的直线l被E截得的线段长为8.

(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x＝－相交于A，B两点， 求|FA|·|FB|的取值范围.
解　(1)由题意，直线l的方程为y＝x－，联立消去y整理得x2－3px＋＝0.
设直线l与抛物线E的交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝3p，故直线l被抛物线E截得的线段长为x1＋x2＋p＝4p＝8，得p＝2，
∴抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知，F(1,0)，设C(x0，y0)，则圆C的方程是(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0－1)2＋y.
令x＝－，得y2－2y0y＋3x0－＝0.
又∵y＝4x0，∴Δ＝4y－12x0＋3＝y＋3>0恒成立.
设A，B，
则y3＋y4＝2y0，y3y4＝3x0－.
∴|FA|·|FB|＝·＝
＝
＝＝3|x0＋1|.
∵x0≥0，∴|FA|·|FB|∈[3，＋∞).