2021版新高考数学（文科）一轮复习教师用书：第12章第2节　参数方程

第二节　参数方程

[最新考纲]　1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．

1．曲线的参数方程

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程．

2．参数方程和普通方程的互化

(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数．

(2)普通方程化参数方程：如果x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，则得曲线的参数方程

3．常见曲线的参数方程和普通方程

直线参数方程的标准形式的应用

过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则

①|M1M2|＝|t1－t2|.

②若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.

③若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.

④|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数． (　　)

(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．(　　)

(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．   (　　)

(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.              (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×

二、教材改编

1．曲线(θ为参数)的对称中心(　　)

A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上

C．在直线y＝x－1上   D．在直线y＝x＋1上

B　[由得

所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.

曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，

所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．]

2．直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为        ．

－3　[将直线l的参数方程化为普通方程为y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.]

3．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为        ．

y＝2－2x2(－1≤x≤1)　[由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．]

4．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则a＝        .

3　[直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3－a＝0，∴a＝3.]

考点1　参数方程与普通方程的互化

　将参数方程化为普通方程的方法

将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin2θ＋cos2θ＝1等)．

　将下列参数方程化为普通方程

(1)(t为参数)．

(2)(θ为参数)．

(3)(t为参数)

(4)(t为参数)．

[解]　(1)由得

∴4x2－4y2＝(et＋e－t)2－(et－e－t)2＝4，

∴x2－y2＝1.

(2)由得

∴(2y)2＋x＝(sin θ＋cos θ)2＋(－1－sin 2θ)＝0，

∴y2＝－，

又－2≤－1－sin 2θ≤0，即－2≤x≤0，

∴y2＝－(－2≤x≤0)．

(3)∵x＝，

y＝＝

＝4－3×

＝4－3x，

又x＝＝

＝2－∈[0,2)，

∴x∈[0,2)，

∴所求的普通方程为3x＋y－4＝0(0≤x＜2)．

(4)∵－1＜≤1，即－1＜x≤1，

且x2＋＝＋＝1.

∴普通方程为x2＋＝1(x≠－1)．

　将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解．

考点2　参数方程的应用

1．应用直线参数方程的注意点

在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值(即系数平方和等于1)，否则参数不具备该几何含义．

2．圆和圆锥曲线参数方程的应用

有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．

　(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0.

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)求C上的点到l距离的最小值．

[解]　(1)因为－1＜≤1，且x2＋＝＋＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)．

l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.

(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π＜α＜π)．

C上的点到l的距离为

＝.

当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，

故C上的点到l距离的最小值为.

　求椭圆上的点到直线的距离的最值问题，常用三角代换法求解．

[教师备选例题]

在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C：(θ为参数)相交于不同的两点A，B.

(1)若α＝，求线段AB的中点的直角坐标；

(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3,0)，求|PA|·|PB|的值．

[解]　(1)由曲线C：(θ为参数)，

可得曲线C的普通方程是x2－y2＝1.

当α＝时，直线l的参数方程为(t为参数)，

代入曲线C的普通方程，得t2－6t－16＝0，

得t1＋t2＝6，所以线段AB的中点对应的t＝＝3，

故线段AB的中点的直角坐标为.

(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得(cos2α－sin2α)t2＋6cos αt＋8＝0，

则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝

＝，

由已知得tan α＝2，故|PA|·|PB|＝.

　在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝.

(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；

(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．

[解]　(1)由消去θ，

得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.

又直线l过点P(1,2)且倾斜角α＝，

所以l的参数方程为

即(t为参数)．

(2)把直线l的参数方程

代入x2＋y2＝16，

得＋＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，

所以t1t2＝－11，

由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11.

考点3　极坐标、参数方程的综合应用

　处理极坐标、参数方程综合问题的方法

(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．

(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．

　已知直线l的参数方程为(t为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若l与C交于A，B两点，设M(1,2)，求＋的值．

[解]　(1)由得消去参数t得3(x－1)＝y－2，

即3x－y－1＝0，所以直线l的普通方程为3x－y－1＝0.

由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，

化为直角坐标方程得x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.

(2)把x＝1＋t，y＝2＋3t代入x2＋y2－4x＝0，

得(1＋t)2＋(2＋3t)2－4(1＋t)＝0，整理得10t2＋10t＋1＝0，

Δ＝102－4×10＞0，设方程10t2＋10t＋1＝0的两个根分别为t1，t2，

则t1＋t2＝－1，t1t2＝，显然t1＜0，t2＜0，

因为直线l的参数方程为

即

所以＋＝＋＝－＝－＝－＝.

　解答本例第(2)问时，易误认为|MA|＝|t1|，|MB|＝|t2|，导致解题错误．应把直线的参数方程化为标准的参数方程，然后再求解．

[教师备选例题]

在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．

[解]　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.

(2)法一：由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数t得y＝x·tan α.

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.

由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.

又|AB|＝，由垂径定理及点到直线的距离公式得＝，即＝，

整理得k2＝，解得k＝±，即l的斜率为±.

法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．

设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，

于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.

|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.

由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.

所以l的斜率为或－.

　1.(2019·衡水模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ＝3.

(1)求曲线C的直角坐标方程，并说明它为何种曲线；

(2)设点P的坐标为(3,3)，直线l交曲线C于A，B两点，求|PA|＋|PB|的最大值．

[解]　(1)将代入ρ2－2ρcos θ＝3中得x2＋y2－2x＝3，

即(x－1)2＋y2＝4，曲线C是一个以(1,0)为圆心，2为半径的圆．

(2)由直线l的参数方程，知其过定点P(3,3)，由于直线l与曲线C相交，由图象知其倾斜角α为锐角．

联立与(x－1)2＋y2＝4，整理得到关于t的二次方程t2＋(4cos α＋6sin α)t＋9＝0.

由Δ＞0知(4cos α＋6sin α)2－36＞0，则4cos α＋6sin α＞6或4cos α＋6sin α＜－6(舍)．

又由于点A，B均在点P的下方，由参数t的几何意义，知

|PA|＋|PB|＝－(t1＋t2)＝4cos α＋6sin α＝2sin(α＋φ)∈(6,2].

所以|PA|＋|PB|的最大值为2.

2．(2019·汕头模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数，a＞0)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcos＝2.

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)设P是曲线C上的一个动点，若点P到直线l的距离的最大值为3，求a的值．

[解]　(1)依题意得曲线C的普通方程为＋＝1，

因为ρcos＝2，所以ρcos θ＋ρsin θ＝4，

因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

所以直线l的直角坐标方程为x＋y＝4，即x＋y－4＝0，

(2)设点P(acos α，asin α)，则点P到直线l的距离

d＝

＝，

因为a＞0，所以当sin＝－1时，dmax＝＝3，

所以a＝1.