2021版新高考数学（理科）一轮复习教师用书：第2章第8节　函数的图象

第八节　函数的图象

[最新考纲]　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题．

1．利用描点法作函数的图象

方法步骤：(1)确定函数的定义域；

(2)化简函数的解析式；

(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；

(4)描点连线．

2．利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

(2)对称变换

①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；

②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；

③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；

④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象．

(3)伸缩变换

①y＝f(x)的图象

y＝f(ax)的图象；

②y＝f(x)的图象

y＝af(x)的图象．

(4)翻转变换

①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；

②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．

1．关于对称的三个重要结论

(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．

(3)若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

2．函数图象平移变换八字方针

(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．

(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(　　)

(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　　)

(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．(　　)

(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、教材改编

1．函数f(x)＝－x的图象关于(　　)

A．y轴对称　　　　 B．直线y＝－x对称

C．坐标原点对称   D．直线y＝x对称

C　[∵f(x)＝－x是奇函数，

∴图象关于原点对称．]

2．李明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．则与以上事件吻合最好的图象是(　　)

A　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　D

C　[距学校的距离应逐渐减小，由于李明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快．]

3．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．

(－1，1]　[在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1，1]．

]

考点1　作函数的图象

　函数图象的常用画法

(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点，进而直接作出图象．

(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．

(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作出．

　作出下列函数的图象：

(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；

(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.

[解]　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分．

①　　　　　　②

(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.

(3)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.

③　　　　　　④

(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.

　(1)画函数的图象一定要注意定义域．(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

考点2　函数图象的辨识

　辨析函数图象的入手点

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．

(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．

　(1)(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)

A　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　D

(2)已知定义在区间[0，2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)

A　　　　　　　B

C　　　　　　　D

(3)如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P以1 cm/s的速度沿A→B→C的路径向C移动，点Q以2 cm/s的速度沿B→C→A的路径向A移动，当点Q到达A点时，P，Q两点同时停止移动．记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为S＝f(t)，则f(t)的图象大致为(　　)

A　　　B　　　C　　　　D

(1)D　(2)B　(3)A　[(1)∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数．又∵f(π)＝＝＞0，∴选D.

(2)当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各选项可知，应选B.

(3)当0≤t≤4时，点P在AB上，点Q在BC上，此时PB＝6－t，CQ＝8－2t，则S＝f(t)＝QC×BP＝(8－2t)×(6－t)＝t2－10t＋24；当4＜t≤6时，点P在AB上，点Q在CA上，此时AP＝t，P到AC的距离为t，CQ＝2t－8，则S＝f(t)＝QC×t＝(2t－8)×t＝(t2－4t)；当6＜t≤9时，点P在BC上，点Q在CA上，此时CP＝14－t，QC＝2t－8，则S＝f(t)＝QC×CPsin∠ACB＝(2t－8)(14－t)×＝(t－4)(14－t)．综上，函数f(t)对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A，故选A.]

　由实际情景探究函数图象，关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．

　1.(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6,6]的图象大致为(　　)

A　　　B　　　C　　　D

B　[设f(x)＝(x∈[－6,6])，则f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除选项C；当x＝－1时，f(－1)＝－＜0，排除选项D；当x＝4时，f(4)＝≈7.97，排除选项A.故选B.]

2.如图，圆与两坐标轴分别切于A，B两点，圆上一动点P从A开始沿圆周按逆时针方向匀速旋转回到A点，则与△OBP的面积随时间变化的图象相符合的是(　　)

A　　　B　　　C　　　　D

A　[当P从A运动到B的过程中，△OBP的面积逐渐减小，在点B处，△OBP的面积为零，当P从B运动到圆的最高点的过程中，△OBP的面积又逐渐增大，且当P位于圆的最高点时，△OBP的面积达到最大值，当P从最高点运动到A点的过程中，△OBP的面积又逐渐减小，故选A.]

考点3　函数图象的应用

　利用函数图象的直观性求解相关问题，关键在于准确作出函数图象，根据函数解析式的特征和图象的直观性确定函数的相关性质，特别是函数图象的对称性等，然后解决相关问题．

　研究函数的性质

　(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)

B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)

C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)

D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)

(2)对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．

(1)C　(2)　[(1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．

(2)函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为.

]

　利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系．如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．

　解不等式

　设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为(　　)

A．(－1,0)∪(1，＋∞)

B．(－∞，－1)∪(0,1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D．(－1,0)∪(0,1)

D　[因为f(x)为奇函数，所以不等式＜0可化为＜0，即xf(x)＜0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．]

　当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．

　求参数的取值范围

　(1)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．

(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．

(1)(0,1]　(2)[－1，＋∞)　[(1)作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，

由图可知k∈(0,1]．

(2)如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．]

　当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围．

　1.(2019·贵阳市监测考试)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)

A．函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称

B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数

C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴

D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称

A　[因为y＝＝＝＋2，所以该函数图象可以由y＝的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称，A正确，D错误；易知函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，故B错误；易知函数f(x)的图象是由y＝的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误．故选A.]

2.已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)＞f(－x)－2x的解集是________．

(－1,0)∪(1，]　[由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)＞－x.在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，]．

]

3．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．

　[先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.]